Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 34658 / 102965
↖ ↑ ↗
← S 71.121214°
W 84.808960°		 ← 98.83 m → S 71.121214°
W 84.806213°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.122103°
W 84.808960°		 ← 98.82 m →
9 765 m²		 S 71.122103°
W 84.806213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264423370361328 y=0.785564422607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264423370361328 × 217)
    floor (0.264423370361328 × 131072)
    floor (34658.5)     		tx = 34658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785564422607422 × 217)
    floor (0.785564422607422 × 131072)
    floor (102965.5)     		ty = 102965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34658 / 102965 ti = "17/34658/102965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34658/102965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34658 ÷ 217
    34658 ÷ 131072     		x = 0.264419555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102965 ÷ 217
    102965 ÷ 131072     		y = 0.785560607910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264419555664062 × 2 - 1) × π
    -0.471160888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.48019559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785560607910156 × 2 - 1) × π
    -0.571121215820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.79423021587908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48019559} λ = -1.48019559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79423021587908))-π/2
    2×atan(0.166255383855203)-π/2
    2×0.164748483685462-π/2
    0.329496967370925-1.57079632675     		φ = -1.24129936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48019559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.808960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24129936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.121214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34658 KachelY 102965 -1.48019559 -1.24129936 -84.808960 -71.121214
    Oben rechts KachelX + 1 34659 KachelY 102965 -1.48014765 -1.24129936 -84.806213 -71.121214
    Unten links KachelX 34658 KachelY + 1 102966 -1.48019559 -1.24131487 -84.808960 -71.122103
    Unten rechts KachelX + 1 34659 KachelY + 1 102966 -1.48014765 -1.24131487 -84.806213 -71.122103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24129936--1.24131487) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dl = 98.8142100006841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24129936--1.24131487) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dr = 98.8142100006841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48019559--1.48014765) × cos(-1.24129936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323567096704397 × 6371000     		do = 98.8257199505272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48019559--1.48014765) × cos(-1.24131487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323552421022389 × 6371000     		du = 98.8212376194899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24129936)-sin(-1.24131487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323567096704397-0.323552421022389)×R²
    abs(-1.48014765--1.48019559)×1.46756820080252e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46756820080252e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46756820080252e-05×40589641000000     		ar = 9765.16398578332m²