Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34657 / 102964
↖ ↑ ↗
← S 71.120326°
W 84.811706°		 ← 98.81 m → S 71.120326°
W 84.808960°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.121214°
W 84.811706°		 ← 98.81 m →
9 764 m²		 S 71.121214°
W 84.808960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264415740966797 y=0.785556793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264415740966797 × 217)
    floor (0.264415740966797 × 131072)
    floor (34657.5)     		tx = 34657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785556793212891 × 217)
    floor (0.785556793212891 × 131072)
    floor (102964.5)     		ty = 102964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34657 / 102964 ti = "17/34657/102964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34657/102964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34657 ÷ 217
    34657 ÷ 131072     		x = 0.264411926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102964 ÷ 217
    102964 ÷ 131072     		y = 0.785552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264411926269531 × 2 - 1) × π
    -0.471176147460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.48024352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785552978515625 × 2 - 1) × π
    -0.57110595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79418227897946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48024352} λ = -1.48024352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79418227897946))-π/2
    2×atan(0.166263353813876)-π/2
    2×0.164756239263081-π/2
    0.329512478526161-1.57079632675     		φ = -1.24128385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48024352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.811706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24128385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.120326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34657 KachelY 102964 -1.48024352 -1.24128385 -84.811706 -71.120326
    Oben rechts KachelX + 1 34658 KachelY 102964 -1.48019559 -1.24128385 -84.808960 -71.120326
    Unten links KachelX 34657 KachelY + 1 102965 -1.48024352 -1.24129936 -84.811706 -71.121214
    Unten rechts KachelX + 1 34658 KachelY + 1 102965 -1.48019559 -1.24129936 -84.808960 -71.121214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24128385--1.24129936) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dl = 98.8142099992695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24128385--1.24129936) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dr = 98.8142099992695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48024352--1.48019559) × cos(-1.24128385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323581772308568 × 6371000     		do = 98.8095868632025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48024352--1.48019559) × cos(-1.24129936) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323567096704397 × 6371000     		du = 98.8051054909215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24128385)-sin(-1.24129936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323581772308568-0.323567096704397)×R²
    abs(-1.48019559--1.48024352)×1.46756041705109e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46756041705109e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46756041705109e-05×40589641000000     		ar = 9763.56985493695m²