Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34657 / 102895
↖ ↑ ↗
← S 71.058906°
W 84.811706°		 ← 99.12 m → S 71.058906°
W 84.808960°		 →
↑
99.13 m
↓
↑
99.13 m
↓
S 71.059798°
W 84.811706°		 ← 99.11 m →
9 826 m²		 S 71.059798°
W 84.808960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264415740966797 y=0.785030364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264415740966797 × 217)
    floor (0.264415740966797 × 131072)
    floor (34657.5)     		tx = 34657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785030364990234 × 217)
    floor (0.785030364990234 × 131072)
    floor (102895.5)     		ty = 102895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34657 / 102895 ti = "17/34657/102895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34657/102895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34657 ÷ 217
    34657 ÷ 131072     		x = 0.264411926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102895 ÷ 217
    102895 ÷ 131072     		y = 0.785026550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264411926269531 × 2 - 1) × π
    -0.471176147460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.48024352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785026550292969 × 2 - 1) × π
    -0.570053100585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.79087463290568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48024352} λ = -1.48024352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79087463290568))-π/2
    2×atan(0.166814204650921)-π/2
    2×0.165292224450433-π/2
    0.330584448900865-1.57079632675     		φ = -1.24021188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48024352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.811706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24021188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.058906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34657 KachelY 102895 -1.48024352 -1.24021188 -84.811706 -71.058906
    Oben rechts KachelX + 1 34658 KachelY 102895 -1.48019559 -1.24021188 -84.808960 -71.058906
    Unten links KachelX 34657 KachelY + 1 102896 -1.48024352 -1.24022744 -84.811706 -71.059798
    Unten rechts KachelX + 1 34658 KachelY + 1 102896 -1.48019559 -1.24022744 -84.808960 -71.059798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24021188--1.24022744) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dl = 99.1327600001628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24021188--1.24022744) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dr = 99.1327600001628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48024352--1.48019559) × cos(-1.24021188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324595884435911 × 6371000     		do = 99.1192582010558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48024352--1.48019559) × cos(-1.24022744) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32458116692711 × 6371000     		du = 99.1147640326919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24021188)-sin(-1.24022744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324595884435911-0.32458116692711)×R²
    abs(-1.48019559--1.48024352)×1.47175088006102e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47175088006102e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47175088006102e-05×40589641000000     		ar = 9825.74287515114m²