Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34656 / 37024
↖ ↑ ↗
← S 22.755921°
E 10.371094°		 ← 563.30 m → S 22.755921°
E 10.376587°		 →
↑
563.26 m
↓
↑
563.26 m
↓
S 22.760986°
E 10.371094°		 ← 563.28 m →
317 280 m²		 S 22.760986°
E 10.376587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528816223144531 y=0.564949035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528816223144531 × 216)
    floor (0.528816223144531 × 65536)
    floor (34656.5)     		tx = 34656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.564949035644531 × 216)
    floor (0.564949035644531 × 65536)
    floor (37024.5)     		ty = 37024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34656 / 37024 ti = "16/34656/37024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34656/37024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34656 ÷ 216
    34656 ÷ 65536     		x = 0.52880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37024 ÷ 216
    37024 ÷ 65536     		y = 0.56494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52880859375 × 2 - 1) × π
    0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.408038889565918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18100973} λ = 0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.408038889565918))-π/2
    2×atan(0.66495301858531)-π/2
    2×0.586815293295521-π/2
    1.17363058659104-1.57079632675     		φ = -0.39716574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39716574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.755921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34656 KachelY 37024 0.18100973 -0.39716574 10.371094 -22.755921
    Oben rechts KachelX + 1 34657 KachelY 37024 0.18110561 -0.39716574 10.376587 -22.755921
    Unten links KachelX 34656 KachelY + 1 37025 0.18100973 -0.39725415 10.371094 -22.760986
    Unten rechts KachelX + 1 34657 KachelY + 1 37025 0.18110561 -0.39725415 10.376587 -22.760986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39716574--0.39725415) × R
    8.84099999999832e-05 × 6371000     		dl = 563.260109999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39716574--0.39725415) × R
    8.84099999999832e-05 × 6371000     		dr = 563.260109999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18100973-0.18110561) × cos(-0.39716574) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.922161005903359 × 6371000     		do = 563.303415254312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18100973-0.18110561) × cos(-0.39725415) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.92212680475841 × 6371000     		du = 563.282523434302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39716574)-sin(-0.39725415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922161005903359-0.92212680475841)×R²
    abs(0.18110561-0.18100973)×3.42011449490087e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.42011449490087e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.42011449490087e-05×40589641000000     		ar = 317280.460081666m²