Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34656 / 36064
↖ ↑ ↗
← S 17.811456°
E 10.371094°		 ← 581.57 m → S 17.811456°
E 10.376587°		 →
↑
581.54 m
↓
↑
581.54 m
↓
S 17.816686°
E 10.371094°		 ← 581.56 m →
338 205 m²		 S 17.816686°
E 10.376587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528816223144531 y=0.550300598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528816223144531 × 216)
    floor (0.528816223144531 × 65536)
    floor (34656.5)     		tx = 34656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550300598144531 × 216)
    floor (0.550300598144531 × 65536)
    floor (36064.5)     		ty = 36064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34656 / 36064 ti = "16/34656/36064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34656/36064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34656 ÷ 216
    34656 ÷ 65536     		x = 0.52880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36064 ÷ 216
    36064 ÷ 65536     		y = 0.55029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52880859375 × 2 - 1) × π
    0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55029296875 × 2 - 1) × π
    -0.1005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.31600004229541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18100973} λ = 0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.31600004229541))-π/2
    2×atan(0.729059419331756)-π/2
    2×0.629963886741827-π/2
    1.25992777348365-1.57079632675     		φ = -0.31086855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31086855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.811456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34656 KachelY 36064 0.18100973 -0.31086855 10.371094 -17.811456
    Oben rechts KachelX + 1 34657 KachelY 36064 0.18110561 -0.31086855 10.376587 -17.811456
    Unten links KachelX 34656 KachelY + 1 36065 0.18100973 -0.31095983 10.371094 -17.816686
    Unten rechts KachelX + 1 34657 KachelY + 1 36065 0.18110561 -0.31095983 10.376587 -17.816686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31086855--0.31095983) × R
    9.12799999999714e-05 × 6371000     		dl = 581.544879999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31086855--0.31095983) × R
    9.12799999999714e-05 × 6371000     		dr = 581.544879999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18100973-0.18110561) × cos(-0.31086855) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.952068252030094 × 6371000     		do = 581.572300813551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18100973-0.18110561) × cos(-0.31095983) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.952040326819786 × 6371000     		du = 581.555242657506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31086855)-sin(-0.31095983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952068252030094-0.952040326819786)×R²
    abs(0.18110561-0.18100973)×2.79252103079219e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.79252103079219e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.79252103079219e-05×40589641000000     		ar = 338205.43408106m²