Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34656 / 102891
↖ ↑ ↗
← S 71.055340°
W 84.814453°		 ← 99.16 m → S 71.055340°
W 84.811706°		 →
↑
99.13 m
↓
↑
99.13 m
↓
S 71.056231°
W 84.814453°		 ← 99.15 m →
9 830 m²		 S 71.056231°
W 84.811706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264408111572266 y=0.784999847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264408111572266 × 217)
    floor (0.264408111572266 × 131072)
    floor (34656.5)     		tx = 34656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784999847412109 × 217)
    floor (0.784999847412109 × 131072)
    floor (102891.5)     		ty = 102891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34656 / 102891 ti = "17/34656/102891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34656/102891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34656 ÷ 217
    34656 ÷ 131072     		x = 0.264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102891 ÷ 217
    102891 ÷ 131072     		y = 0.784996032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.47119140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.48029146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784996032714844 × 2 - 1) × π
    -0.569992065429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.7906828853072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48029146} λ = -1.48029146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7906828853072))-π/2
    2×atan(0.166846193940891)-π/2
    2×0.165323347513494-π/2
    0.330646695026988-1.57079632675     		φ = -1.24014963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48029146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24014963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.055340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34656 KachelY 102891 -1.48029146 -1.24014963 -84.814453 -71.055340
    Oben rechts KachelX + 1 34657 KachelY 102891 -1.48024352 -1.24014963 -84.811706 -71.055340
    Unten links KachelX 34656 KachelY + 1 102892 -1.48029146 -1.24016519 -84.814453 -71.056231
    Unten rechts KachelX + 1 34657 KachelY + 1 102892 -1.48024352 -1.24016519 -84.811706 -71.056231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24014963--1.24016519) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dl = 99.1327600001628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24014963--1.24016519) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dr = 99.1327600001628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48029146--1.48024352) × cos(-1.24014963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324654763143513 × 6371000     		do = 99.157921277567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48029146--1.48024352) × cos(-1.24016519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32464004594914 × 6371000     		du = 99.1534262675851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24014963)-sin(-1.24016519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324654763143513-0.32464004594914)×R²
    abs(-1.48024352--1.48029146)×1.47171943724045e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47171943724045e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47171943724045e-05×40589641000000     		ar = 9829.57561094946m²