Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34654 / 36065
↖ ↑ ↗
← S 17.816686°
E 10.360108°		 ← 581.49 m → S 17.816686°
E 10.365601°		 →
↑
581.48 m
↓
↑
581.48 m
↓
S 17.821915°
E 10.360108°		 ← 581.48 m →
338 123 m²		 S 17.821915°
E 10.365601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528785705566406 y=0.550315856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528785705566406 × 216)
    floor (0.528785705566406 × 65536)
    floor (34654.5)     		tx = 34654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550315856933594 × 216)
    floor (0.550315856933594 × 65536)
    floor (36065.5)     		ty = 36065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34654 / 36065 ti = "16/34654/36065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34654/36065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34654 ÷ 216
    34654 ÷ 65536     		x = 0.528778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36065 ÷ 216
    36065 ÷ 65536     		y = 0.550308227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528778076171875 × 2 - 1) × π
    0.05755615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18081799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550308227539062 × 2 - 1) × π
    -0.100616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.31609591609465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18081799} λ = 0.18081799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.31609591609465))-π/2
    2×atan(0.728989524985925)-π/2
    2×0.629918248210921-π/2
    1.25983649642184-1.57079632675     		φ = -0.31095983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18081799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.360108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31095983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.816686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34654 KachelY 36065 0.18081799 -0.31095983 10.360108 -17.816686
    Oben rechts KachelX + 1 34655 KachelY 36065 0.18091386 -0.31095983 10.365601 -17.816686
    Unten links KachelX 34654 KachelY + 1 36066 0.18081799 -0.31105110 10.360108 -17.821915
    Unten rechts KachelX + 1 34655 KachelY + 1 36066 0.18091386 -0.31105110 10.365601 -17.821915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31095983--0.31105110) × R
    9.12700000000322e-05 × 6371000     		dl = 581.481170000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31095983--0.31105110) × R
    9.12700000000322e-05 × 6371000     		dr = 581.481170000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18081799-0.18091386) × cos(-0.31095983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952040326819786 × 6371000     		do = 581.494588168316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18081799-0.18091386) × cos(-0.31105110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952012396737637 × 6371000     		du = 581.477528815724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31095983)-sin(-0.31105110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952040326819786-0.952012396737637)×R²
    abs(0.18091386-0.18081799)×2.79300821497408e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79300821497408e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79300821497408e-05×40589641000000     		ar = 338123.19386533m²