Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34654 / 102897
↖ ↑ ↗
← S 71.060689°
W 84.819946°		 ← 99.11 m → S 71.060689°
W 84.817200°		 →
↑
99.13 m
↓
↑
99.13 m
↓
S 71.061581°
W 84.819946°		 ← 99.11 m →
9 825 m²		 S 71.061581°
W 84.817200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264392852783203 y=0.785045623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264392852783203 × 217)
    floor (0.264392852783203 × 131072)
    floor (34654.5)     		tx = 34654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785045623779297 × 217)
    floor (0.785045623779297 × 131072)
    floor (102897.5)     		ty = 102897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34654 / 102897 ti = "17/34654/102897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34654/102897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34654 ÷ 217
    34654 ÷ 131072     		x = 0.264389038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102897 ÷ 217
    102897 ÷ 131072     		y = 0.785041809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264389038085938 × 2 - 1) × π
    -0.471221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.48038733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785041809082031 × 2 - 1) × π
    -0.570083618164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.79097050670492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48038733} λ = -1.48038733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79097050670492))-π/2
    2×atan(0.166798212305989)-π/2
    2×0.165276665035504-π/2
    0.330553330071009-1.57079632675     		φ = -1.24024300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48038733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.819946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24024300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.060689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34654 KachelY 102897 -1.48038733 -1.24024300 -84.819946 -71.060689
    Oben rechts KachelX + 1 34655 KachelY 102897 -1.48033940 -1.24024300 -84.817200 -71.060689
    Unten links KachelX 34654 KachelY + 1 102898 -1.48038733 -1.24025856 -84.819946 -71.061581
    Unten rechts KachelX + 1 34655 KachelY + 1 102898 -1.48033940 -1.24025856 -84.817200 -71.061581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24024300--1.24025856) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dl = 99.1327600001628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24024300--1.24025856) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dr = 99.1327600001628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48038733--1.48033940) × cos(-1.24024300) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.324566449339724 × 6371000     		do = 99.1102698398718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48038733--1.48033940) × cos(-1.24025856) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.324551731673756 × 6371000     		du = 99.1057756235149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24024300)-sin(-1.24025856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324566449339724-0.324551731673756)×R²
    abs(-1.48033940--1.48038733)×1.47176659681114e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.47176659681114e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.47176659681114e-05×40589641000000     		ar = 9824.8518317667m²