Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3465 / 2683
↖ ↑ ↗
← N 52.616390°
W 27.729492°		 ← 2 966.83 m → N 52.616390°
W 27.685547°		 →
↑
2 967.74 m
↓
↑
2 967.74 m
↓
N 52.589701°
W 27.729492°		 ← 2 968.64 m →
8 807 453 m²		 N 52.589701°
W 27.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42303466796875 y=0.32757568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42303466796875 × 213)
    floor (0.42303466796875 × 8192)
    floor (3465.5)     		tx = 3465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32757568359375 × 213)
    floor (0.32757568359375 × 8192)
    floor (2683.5)     		ty = 2683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3465 / 2683 ti = "13/3465/2683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3465/2683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3465 ÷ 213
    3465 ÷ 8192     		x = 0.4229736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2683 ÷ 213
    2683 ÷ 8192     		y = 0.3275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4229736328125 × 2 - 1) × π
    -0.154052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48397094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3275146484375 × 2 - 1) × π
    0.344970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08375742661023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48397094} λ = -0.48397094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08375742661023))-π/2
    2×atan(2.95576478129682)-π/2
    2×1.24456278842846-π/2
    2.48912557685692-1.57079632675     		φ = 0.91832925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48397094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.729492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91832925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.616390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3465 KachelY 2683 -0.48397094 0.91832925 -27.729492 52.616390
    Oben rechts KachelX + 1 3466 KachelY 2683 -0.48320395 0.91832925 -27.685547 52.616390
    Unten links KachelX 3465 KachelY + 1 2684 -0.48397094 0.91786343 -27.729492 52.589701
    Unten rechts KachelX + 1 3466 KachelY + 1 2684 -0.48320395 0.91786343 -27.685547 52.589701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91832925-0.91786343) × R
    0.00046581999999995 × 6371000     		dl = 2967.73921999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91832925-0.91786343) × R
    0.00046581999999995 × 6371000     		dr = 2967.73921999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48397094--0.48320395) × cos(0.91832925) × R
    0.000766990000000023 × 0.607148561887045 × 6371000     		do = 2966.82737369428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48397094--0.48320395) × cos(0.91786343) × R
    0.000766990000000023 × 0.607518631140303 × 6371000     		du = 2968.63571461717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91832925)-sin(0.91786343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607148561887045-0.607518631140303)×R²
    abs(-0.48320395--0.48397094)×0.000370069253258776×R²
    0.000766990000000023×0.000370069253258776×6371000²
    0.000766990000000023×0.000370069253258776×40589641000000     		ar = 8807453.4572834m²