Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34649 / 102941
↖ ↑ ↗
← S 71.099874°
W 84.833679°		 ← 98.93 m → S 71.099874°
W 84.830933°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
S 71.100763°
W 84.833679°		 ← 98.93 m →
9 782 m²		 S 71.100763°
W 84.830933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264354705810547 y=0.785381317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264354705810547 × 217)
    floor (0.264354705810547 × 131072)
    floor (34649.5)     		tx = 34649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785381317138672 × 217)
    floor (0.785381317138672 × 131072)
    floor (102941.5)     		ty = 102941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34649 / 102941 ti = "17/34649/102941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34649/102941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34649 ÷ 217
    34649 ÷ 131072     		x = 0.264350891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102941 ÷ 217
    102941 ÷ 131072     		y = 0.785377502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264350891113281 × 2 - 1) × π
    -0.471298217773438 × 3.1415926535     		Λ = -1.48062702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785377502441406 × 2 - 1) × π
    -0.570755004882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.7930797302882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48062702} λ = -1.48062702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7930797302882))-π/2
    2×atan(0.166446768350177)-π/2
    2×0.164934714669407-π/2
    0.329869429338814-1.57079632675     		φ = -1.24092690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48062702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.833679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24092690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.099874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34649 KachelY 102941 -1.48062702 -1.24092690 -84.833679 -71.099874
    Oben rechts KachelX + 1 34650 KachelY 102941 -1.48057908 -1.24092690 -84.830933 -71.099874
    Unten links KachelX 34649 KachelY + 1 102942 -1.48062702 -1.24094242 -84.833679 -71.100763
    Unten rechts KachelX + 1 34650 KachelY + 1 102942 -1.48057908 -1.24094242 -84.830933 -71.100763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24092690--1.24094242) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dl = 98.8779200002969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24092690--1.24094242) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dr = 98.8779200002969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48062702--1.48057908) × cos(-1.24092690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323919497851898 × 6371000     		do = 98.9333523317794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48062702--1.48057908) × cos(-1.24094242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323904814579169 × 6371000     		du = 98.9288676823405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24092690)-sin(-1.24094242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323919497851898-0.323904814579169)×R²
    abs(-1.48057908--1.48062702)×1.46832727291324e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46832727291324e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46832727291324e-05×40589641000000     		ar = 9782.1023810775m²