Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34648 / 102937
↖ ↑ ↗
← S 71.096315°
W 84.836426°		 ← 98.95 m → S 71.096315°
W 84.833679°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
S 71.097205°
W 84.836426°		 ← 98.95 m →
9 790 m²		 S 71.097205°
W 84.833679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264347076416016 y=0.785350799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264347076416016 × 217)
    floor (0.264347076416016 × 131072)
    floor (34648.5)     		tx = 34648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785350799560547 × 217)
    floor (0.785350799560547 × 131072)
    floor (102937.5)     		ty = 102937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34648 / 102937 ti = "17/34648/102937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34648/102937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34648 ÷ 217
    34648 ÷ 131072     		x = 0.26434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102937 ÷ 217
    102937 ÷ 131072     		y = 0.785346984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.4713134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.48067496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785346984863281 × 2 - 1) × π
    -0.570693969726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.79288798268972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48067496} λ = -1.48067496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79288798268972))-π/2
    2×atan(0.166478687178364)-π/2
    2×0.164965772879566-π/2
    0.329931545759133-1.57079632675     		φ = -1.24086478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48067496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.836426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24086478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.096315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34648 KachelY 102937 -1.48067496 -1.24086478 -84.836426 -71.096315
    Oben rechts KachelX + 1 34649 KachelY 102937 -1.48062702 -1.24086478 -84.833679 -71.096315
    Unten links KachelX 34648 KachelY + 1 102938 -1.48067496 -1.24088031 -84.836426 -71.097205
    Unten rechts KachelX + 1 34649 KachelY + 1 102938 -1.48062702 -1.24088031 -84.833679 -71.097205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24086478--1.24088031) × R
    1.55300000002079e-05 × 6371000     		dl = 98.9416300013244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24086478--1.24088031) × R
    1.55300000002079e-05 × 6371000     		dr = 98.9416300013244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48067496--1.48062702) × cos(-1.24086478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323978268005134 × 6371000     		do = 98.9513022493215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48067496--1.48062702) × cos(-1.24088031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323963575584022 × 6371000     		du = 98.9468148057309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24086478)-sin(-1.24088031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323978268005134-0.323963575584022)×R²
    abs(-1.48062702--1.48067496)×1.46924211119615e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46924211119615e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46924211119615e-05×40589641000000     		ar = 9790.18113806308m²