Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34643 / 36172
↖ ↑ ↗
← S 18.375379°
E 10.299682°		 ← 579.71 m → S 18.375379°
E 10.305176°		 →
↑
579.63 m
↓
↑
579.63 m
↓
S 18.380592°
E 10.299682°		 ← 579.69 m →
336 011 m²		 S 18.380592°
E 10.305176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528617858886719 y=0.551948547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528617858886719 × 216)
    floor (0.528617858886719 × 65536)
    floor (34643.5)     		tx = 34643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551948547363281 × 216)
    floor (0.551948547363281 × 65536)
    floor (36172.5)     		ty = 36172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34643 / 36172 ti = "16/34643/36172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34643/36172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34643 ÷ 216
    34643 ÷ 65536     		x = 0.528610229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36172 ÷ 216
    36172 ÷ 65536     		y = 0.55194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528610229492188 × 2 - 1) × π
    0.057220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17976337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55194091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.326354412613342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17976337} λ = 0.17976337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.326354412613342))-π/2
    2×atan(0.721549415895921)-π/2
    2×0.62504273015538-π/2
    1.25008546031076-1.57079632675     		φ = -0.32071087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17976337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.299682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32071087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.375379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34643 KachelY 36172 0.17976337 -0.32071087 10.299682 -18.375379
    Oben rechts KachelX + 1 34644 KachelY 36172 0.17985925 -0.32071087 10.305176 -18.375379
    Unten links KachelX 34643 KachelY + 1 36173 0.17976337 -0.32080185 10.299682 -18.380592
    Unten rechts KachelX + 1 34644 KachelY + 1 36173 0.17985925 -0.32080185 10.305176 -18.380592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32071087--0.32080185) × R
    9.09800000000183e-05 × 6371000     		dl = 579.633580000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32071087--0.32080185) × R
    9.09800000000183e-05 × 6371000     		dr = 579.633580000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17976337-0.17985925) × cos(-0.32071087) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.94901156232885 × 6371000     		do = 579.705117385646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17976337-0.17985925) × cos(-0.32080185) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.94898287775103 × 6371000     		du = 579.687595368831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32071087)-sin(-0.32080185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94901156232885-0.94898287775103)×R²
    abs(0.17985925-0.17976337)×2.86845778199041e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.86845778199041e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.86845778199041e-05×40589641000000     		ar = 336011.474591663m²