Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34640 / 37198
↖ ↑ ↗
← S 23.634460°
E 10.283203°		 ← 559.61 m → S 23.634460°
E 10.288697°		 →
↑
559.56 m
↓
↑
559.56 m
↓
S 23.639492°
E 10.283203°		 ← 559.59 m →
313 135 m²		 S 23.639492°
E 10.288697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528572082519531 y=0.567604064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528572082519531 × 216)
    floor (0.528572082519531 × 65536)
    floor (34640.5)     		tx = 34640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567604064941406 × 216)
    floor (0.567604064941406 × 65536)
    floor (37198.5)     		ty = 37198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34640 / 37198 ti = "16/34640/37198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34640/37198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34640 ÷ 216
    34640 ÷ 65536     		x = 0.528564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37198 ÷ 216
    37198 ÷ 65536     		y = 0.567596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528564453125 × 2 - 1) × π
    0.05712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17947575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.13519287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.424720930633698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17947575} λ = 0.17947575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424720930633698))-π/2
    2×atan(0.653952257709561)-π/2
    2×0.579148593436008-π/2
    1.15829718687202-1.57079632675     		φ = -0.41249914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17947575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41249914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.634460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34640 KachelY 37198 0.17947575 -0.41249914 10.283203 -23.634460
    Oben rechts KachelX + 1 34641 KachelY 37198 0.17957163 -0.41249914 10.288697 -23.634460
    Unten links KachelX 34640 KachelY + 1 37199 0.17947575 -0.41258697 10.283203 -23.639492
    Unten rechts KachelX + 1 34641 KachelY + 1 37199 0.17957163 -0.41258697 10.288697 -23.639492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41249914--0.41258697) × R
    8.7830000000011e-05 × 6371000     		dl = 559.56493000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41249914--0.41258697) × R
    8.7830000000011e-05 × 6371000     		dr = 559.56493000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17947575-0.17957163) × cos(-0.41249914) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.91612177930803 × 6371000     		do = 559.614344750662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17947575-0.17957163) × cos(-0.41258697) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.916086564719276 × 6371000     		du = 559.592833867005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41249914)-sin(-0.41258697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91612177930803-0.916086564719276)×R²
    abs(0.17957163-0.17947575)×3.52145887541067e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.52145887541067e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.52145887541067e-05×40589641000000     		ar = 313134.54348073m²