Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34640 / 36174
↖ ↑ ↗
← S 18.385805°
E 10.283203°		 ← 579.67 m → S 18.385805°
E 10.288697°		 →
↑
579.63 m
↓
↑
579.63 m
↓
S 18.391018°
E 10.283203°		 ← 579.65 m →
335 991 m²		 S 18.391018°
E 10.288697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528572082519531 y=0.551979064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528572082519531 × 216)
    floor (0.528572082519531 × 65536)
    floor (34640.5)     		tx = 34640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551979064941406 × 216)
    floor (0.551979064941406 × 65536)
    floor (36174.5)     		ty = 36174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34640 / 36174 ti = "16/34640/36174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34640/36174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34640 ÷ 216
    34640 ÷ 65536     		x = 0.528564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36174 ÷ 216
    36174 ÷ 65536     		y = 0.551971435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528564453125 × 2 - 1) × π
    0.05712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17947575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551971435546875 × 2 - 1) × π
    -0.10394287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.326546160211823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17947575} λ = 0.17947575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.326546160211823))-π/2
    2×atan(0.721411073792045)-π/2
    2×0.624951747561602-π/2
    1.2499034951232-1.57079632675     		φ = -0.32089283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17947575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32089283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.385805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34640 KachelY 36174 0.17947575 -0.32089283 10.283203 -18.385805
    Oben rechts KachelX + 1 34641 KachelY 36174 0.17957163 -0.32089283 10.288697 -18.385805
    Unten links KachelX 34640 KachelY + 1 36175 0.17947575 -0.32098381 10.283203 -18.391018
    Unten rechts KachelX + 1 34641 KachelY + 1 36175 0.17957163 -0.32098381 10.288697 -18.391018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32089283--0.32098381) × R
    9.09799999999628e-05 × 6371000     		dl = 579.633579999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32089283--0.32098381) × R
    9.09799999999628e-05 × 6371000     		dr = 579.633579999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17947575-0.17957163) × cos(-0.32089283) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.948954185318137 × 6371000     		do = 579.670068553902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17947575-0.17957163) × cos(-0.32098381) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.948925485030408 × 6371000     		du = 579.652536940666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32089283)-sin(-0.32098381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948954185318137-0.948925485030408)×R²
    abs(0.17957163-0.17947575)×2.87002877290554e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.87002877290554e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.87002877290554e-05×40589641000000     		ar = 335991.156330474m²