Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 34632 / 102952
↖ ↑ ↗
← S 71.109658°
W 84.880371°		 ← 98.88 m → S 71.109658°
W 84.877625°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
S 71.110547°
W 84.880371°		 ← 98.88 m →
9 777 m²		 S 71.110547°
W 84.877625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264225006103516 y=0.785465240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264225006103516 × 217)
    floor (0.264225006103516 × 131072)
    floor (34632.5)     		tx = 34632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785465240478516 × 217)
    floor (0.785465240478516 × 131072)
    floor (102952.5)     		ty = 102952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34632 / 102952 ti = "17/34632/102952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34632/102952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34632 ÷ 217
    34632 ÷ 131072     		x = 0.26422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102952 ÷ 217
    102952 ÷ 131072     		y = 0.78546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.4715576171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.48144195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78546142578125 × 2 - 1) × π
    -0.5709228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79360703618402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48144195} λ = -1.48144195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79360703618402))-π/2
    2×atan(0.166359023124206)-π/2
    2×0.164849333637739-π/2
    0.329698667275477-1.57079632675     		φ = -1.24109766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48144195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.880371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24109766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.109658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34632 KachelY 102952 -1.48144195 -1.24109766 -84.880371 -71.109658
    Oben rechts KachelX + 1 34633 KachelY 102952 -1.48139401 -1.24109766 -84.877625 -71.109658
    Unten links KachelX 34632 KachelY + 1 102953 -1.48144195 -1.24111318 -84.880371 -71.110547
    Unten rechts KachelX + 1 34633 KachelY + 1 102953 -1.48139401 -1.24111318 -84.877625 -71.110547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24109766--1.24111318) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dl = 98.8779199988823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24109766--1.24111318) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dr = 98.8779199988823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48144195--1.48139401) × cos(-1.24109766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323757939715815 × 6371000     		do = 98.8840083185132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48144195--1.48139401) × cos(-1.24111318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323743255584869 × 6371000     		du = 98.879523406953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24109766)-sin(-1.24111318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323757939715815-0.323743255584869)×R²
    abs(-1.48139401--1.48144195)×1.46841309452417e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46841309452417e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46841309452417e-05×40589641000000     		ar = 9777.22333444523m²