Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34628 / 36164
↖ ↑ ↗
← S 18.333670°
E 10.217285°		 ← 579.78 m → S 18.333670°
E 10.222778°		 →
↑
579.76 m
↓
↑
579.76 m
↓
S 18.338884°
E 10.217285°		 ← 579.77 m →
336 131 m²		 S 18.338884°
E 10.222778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528388977050781 y=0.551826477050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528388977050781 × 216)
    floor (0.528388977050781 × 65536)
    floor (34628.5)     		tx = 34628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551826477050781 × 216)
    floor (0.551826477050781 × 65536)
    floor (36164.5)     		ty = 36164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34628 / 36164 ti = "16/34628/36164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34628/36164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34628 ÷ 216
    34628 ÷ 65536     		x = 0.52838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36164 ÷ 216
    36164 ÷ 65536     		y = 0.55181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52838134765625 × 2 - 1) × π
    0.0567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17832527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55181884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.325587422219421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17832527} λ = 0.17832527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325587422219421))-π/2
    2×atan(0.722103049655399)-π/2
    2×0.625406715501369-π/2
    1.25081343100274-1.57079632675     		φ = -0.31998290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17832527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.217285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31998290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.333670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34628 KachelY 36164 0.17832527 -0.31998290 10.217285 -18.333670
    Oben rechts KachelX + 1 34629 KachelY 36164 0.17842114 -0.31998290 10.222778 -18.333670
    Unten links KachelX 34628 KachelY + 1 36165 0.17832527 -0.32007390 10.217285 -18.338884
    Unten rechts KachelX + 1 34629 KachelY + 1 36165 0.17842114 -0.32007390 10.222778 -18.338884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31998290--0.32007390) × R
    9.10000000000077e-05 × 6371000     		dl = 579.761000000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31998290--0.32007390) × R
    9.10000000000077e-05 × 6371000     		dr = 579.761000000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17832527-0.17842114) × cos(-0.31998290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949240797031844 × 6371000     		do = 579.78466961209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17832527-0.17842114) × cos(-0.32007390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949212169021646 × 6371000     		du = 579.767183973581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31998290)-sin(-0.32007390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949240797031844-0.949212169021646)×R²
    abs(0.17842114-0.17832527)×2.86280101986502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86280101986502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86280101986502e-05×40589641000000     		ar = 336131.471325165m²