Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 34628 / 102948
↖ ↑ ↗
← S 71.106100°
W 84.891357°		 ← 98.88 m → S 71.106100°
W 84.888611°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
S 71.106990°
W 84.891357°		 ← 98.88 m →
9 783 m²		 S 71.106990°
W 84.888611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264194488525391 y=0.785434722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264194488525391 × 217)
    floor (0.264194488525391 × 131072)
    floor (34628.5)     		tx = 34628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785434722900391 × 217)
    floor (0.785434722900391 × 131072)
    floor (102948.5)     		ty = 102948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34628 / 102948 ti = "17/34628/102948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34628/102948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34628 ÷ 217
    34628 ÷ 131072     		x = 0.264190673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102948 ÷ 217
    102948 ÷ 131072     		y = 0.785430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.47161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.48163369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.57086181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79341528858554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48163369} λ = -1.48163369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79341528858554))-π/2
    2×atan(0.166390925125844)-π/2
    2×0.164880376357278-π/2
    0.329760752714556-1.57079632675     		φ = -1.24103557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48163369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.891357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24103557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.106100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34628 KachelY 102948 -1.48163369 -1.24103557 -84.891357 -71.106100
    Oben rechts KachelX + 1 34629 KachelY 102948 -1.48158576 -1.24103557 -84.888611 -71.106100
    Unten links KachelX 34628 KachelY + 1 102949 -1.48163369 -1.24105110 -84.891357 -71.106990
    Unten rechts KachelX + 1 34629 KachelY + 1 102949 -1.48158576 -1.24105110 -84.888611 -71.106990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24103557--1.24105110) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24103557--1.24105110) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48163369--1.48158576) × cos(-1.24103557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323816684920922 × 6371000     		do = 98.8813202553838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48163369--1.48158576) × cos(-1.24105110) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323801991640735 × 6371000     		du = 98.8768334855183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24103557)-sin(-1.24105110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323816684920922-0.323801991640735)×R²
    abs(-1.48158576--1.48163369)×1.46932801878275e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46932801878275e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46932801878275e-05×40589641000000     		ar = 9783.25703872714m²