Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34625 / 36161
↖ ↑ ↗
← S 18.318026°
E 10.200806°		 ← 579.84 m → S 18.318026°
E 10.206299°		 →
↑
579.89 m
↓
↑
579.89 m
↓
S 18.323241°
E 10.200806°		 ← 579.82 m →
336 236 m²		 S 18.323241°
E 10.206299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528343200683594 y=0.551780700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528343200683594 × 216)
    floor (0.528343200683594 × 65536)
    floor (34625.5)     		tx = 34625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551780700683594 × 216)
    floor (0.551780700683594 × 65536)
    floor (36161.5)     		ty = 36161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34625 / 36161 ti = "16/34625/36161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34625/36161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34625 ÷ 216
    34625 ÷ 65536     		x = 0.528335571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36161 ÷ 216
    36161 ÷ 65536     		y = 0.551773071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528335571289062 × 2 - 1) × π
    0.056671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17803765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551773071289062 × 2 - 1) × π
    -0.103546142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.325299800821701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17803765} λ = 0.17803765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325299800821701))-π/2
    2×atan(0.722310771815076)-π/2
    2×0.625543232657627-π/2
    1.25108646531525-1.57079632675     		φ = -0.31970986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17803765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.200806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31970986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.318026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34625 KachelY 36161 0.17803765 -0.31970986 10.200806 -18.318026
    Oben rechts KachelX + 1 34626 KachelY 36161 0.17813352 -0.31970986 10.206299 -18.318026
    Unten links KachelX 34625 KachelY + 1 36162 0.17803765 -0.31980088 10.200806 -18.323241
    Unten rechts KachelX + 1 34626 KachelY + 1 36162 0.17813352 -0.31980088 10.206299 -18.323241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31970986--0.31980088) × R
    9.10199999999972e-05 × 6371000     		dl = 579.888419999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31970986--0.31980088) × R
    9.10199999999972e-05 × 6371000     		dr = 579.888419999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17803765-0.17813352) × cos(-0.31970986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94932664646916 × 6371000     		do = 579.837105398464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17803765-0.17813352) × cos(-0.31980088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949298035757566 × 6371000     		du = 579.819630325732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31970986)-sin(-0.31980088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94932664646916-0.949298035757566)×R²
    abs(0.17813352-0.17803765)×2.86107115937684e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86107115937684e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86107115937684e-05×40589641000000     		ar = 336235.756342743m²