Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34623 / 36031
↖ ↑ ↗
← S 17.638787°
E 10.189819°		 ← 582.07 m → S 17.638787°
E 10.195312°		 →
↑
582.12 m
↓
↑
582.12 m
↓
S 17.644022°
E 10.189819°		 ← 582.06 m →
338 830 m²		 S 17.644022°
E 10.195312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528312683105469 y=0.549797058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528312683105469 × 216)
    floor (0.528312683105469 × 65536)
    floor (34623.5)     		tx = 34623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.549797058105469 × 216)
    floor (0.549797058105469 × 65536)
    floor (36031.5)     		ty = 36031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34623 / 36031 ti = "16/34623/36031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34623/36031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34623 ÷ 216
    34623 ÷ 65536     		x = 0.528305053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36031 ÷ 216
    36031 ÷ 65536     		y = 0.549789428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528305053710938 × 2 - 1) × π
    0.056610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17784590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.549789428710938 × 2 - 1) × π
    -0.099578857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.312836206920486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17784590} λ = 0.17784590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.312836206920486))-π/2
    2×atan(0.731369696053541)-π/2
    2×0.631470707080198-π/2
    1.2629414141604-1.57079632675     		φ = -0.30785491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17784590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.189819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30785491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.638787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34623 KachelY 36031 0.17784590 -0.30785491 10.189819 -17.638787
    Oben rechts KachelX + 1 34624 KachelY 36031 0.17794177 -0.30785491 10.195312 -17.638787
    Unten links KachelX 34623 KachelY + 1 36032 0.17784590 -0.30794628 10.189819 -17.644022
    Unten rechts KachelX + 1 34624 KachelY + 1 36032 0.17794177 -0.30794628 10.195312 -17.644022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30785491--0.30794628) × R
    9.1370000000035e-05 × 6371000     		dl = 582.118270000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30785491--0.30794628) × R
    9.1370000000035e-05 × 6371000     		dr = 582.118270000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17784590-0.17794177) × cos(-0.30785491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952985756576025 × 6371000     		do = 582.07204510082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17784590-0.17794177) × cos(-0.30794628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952958066108848 × 6371000     		du = 582.055132102123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30785491)-sin(-0.30794628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952985756576025-0.952958066108848)×R²
    abs(0.17794177-0.17784590)×2.76904671762113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76904671762113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76904671762113e-05×40589641000000     		ar = 338829.849462678m²