Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34616 / 35896
↖ ↑ ↗
← S 16.930705°
E 10.151367°		 ← 584.31 m → S 16.930705°
E 10.156860°		 →
↑
584.35 m
↓
↑
584.35 m
↓
S 16.935960°
E 10.151367°		 ← 584.30 m →
341 438 m²		 S 16.935960°
E 10.156860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528205871582031 y=0.547737121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528205871582031 × 216)
    floor (0.528205871582031 × 65536)
    floor (34616.5)     		tx = 34616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547737121582031 × 216)
    floor (0.547737121582031 × 65536)
    floor (35896.5)     		ty = 35896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34616 / 35896 ti = "16/34616/35896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34616/35896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34616 ÷ 216
    34616 ÷ 65536     		x = 0.5281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35896 ÷ 216
    35896 ÷ 65536     		y = 0.5477294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5281982421875 × 2 - 1) × π
    0.056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17717478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.095458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.299893244023071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17717478} λ = 0.17717478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.299893244023071))-π/2
    2×atan(0.740897311676236)-π/2
    2×0.637649889072723-π/2
    1.27529977814545-1.57079632675     		φ = -0.29549655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17717478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29549655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.930705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34616 KachelY 35896 0.17717478 -0.29549655 10.151367 -16.930705
    Oben rechts KachelX + 1 34617 KachelY 35896 0.17727065 -0.29549655 10.156860 -16.930705
    Unten links KachelX 34616 KachelY + 1 35897 0.17717478 -0.29558827 10.151367 -16.935960
    Unten rechts KachelX + 1 34617 KachelY + 1 35897 0.17727065 -0.29558827 10.156860 -16.935960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29549655--0.29558827) × R
    9.17199999999618e-05 × 6371000     		dl = 584.348119999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29549655--0.29558827) × R
    9.17199999999618e-05 × 6371000     		dr = 584.348119999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17717478-0.17727065) × cos(-0.29549655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.956657657498892 × 6371000     		do = 584.314797277159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17717478-0.17727065) × cos(-0.29558827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.956630943243014 × 6371000     		du = 584.298480536385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29549655)-sin(-0.29558827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956657657498892-0.956630943243014)×R²
    abs(0.17727065-0.17717478)×2.67142558773026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67142558773026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67142558773026e-05×40589641000000     		ar = 341438.486187903m²