Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34615 / 35900
↖ ↑ ↗
← S 16.951724°
E 10.145874°		 ← 584.25 m → S 16.951724°
E 10.151367°		 →
↑
584.28 m
↓
↑
584.28 m
↓
S 16.956979°
E 10.145874°		 ← 584.23 m →
341 363 m²		 S 16.956979°
E 10.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528190612792969 y=0.547798156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528190612792969 × 216)
    floor (0.528190612792969 × 65536)
    floor (34615.5)     		tx = 34615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547798156738281 × 216)
    floor (0.547798156738281 × 65536)
    floor (35900.5)     		ty = 35900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34615 / 35900 ti = "16/34615/35900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34615/35900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34615 ÷ 216
    34615 ÷ 65536     		x = 0.528182983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35900 ÷ 216
    35900 ÷ 65536     		y = 0.54779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528182983398438 × 2 - 1) × π
    0.056365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17707891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.0955810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.300276739220032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17707891} λ = 0.17707891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300276739220032))-π/2
    2×atan(0.740613235590157)-π/2
    2×0.637466462511055-π/2
    1.27493292502211-1.57079632675     		φ = -0.29586340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17707891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.145874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29586340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.951724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34615 KachelY 35900 0.17707891 -0.29586340 10.145874 -16.951724
    Oben rechts KachelX + 1 34616 KachelY 35900 0.17717478 -0.29586340 10.151367 -16.951724
    Unten links KachelX 34615 KachelY + 1 35901 0.17707891 -0.29595511 10.145874 -16.956979
    Unten rechts KachelX + 1 34616 KachelY + 1 35901 0.17717478 -0.29595511 10.151367 -16.956979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29586340--0.29595511) × R
    9.17100000000226e-05 × 6371000     		dl = 584.284410000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29586340--0.29595511) × R
    9.17100000000226e-05 × 6371000     		dr = 584.284410000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17707891-0.17717478) × cos(-0.29586340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.956550760936975 × 6371000     		do = 584.249506164486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17707891-0.17717478) × cos(-0.29595511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95652401741076 × 6371000     		du = 584.233171545747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29586340)-sin(-0.29595511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956550760936975-0.95652401741076)×R²
    abs(0.17717478-0.17707891)×2.67435262152338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67435262152338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67435262152338e-05×40589641000000     		ar = 341363.106210084m²