Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34615 / 35894
↖ ↑ ↗
← S 16.920195°
E 10.145874°		 ← 584.35 m → S 16.920195°
E 10.151367°		 →
↑
584.35 m
↓
↑
584.35 m
↓
S 16.925450°
E 10.145874°		 ← 584.33 m →
341 458 m²		 S 16.925450°
E 10.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528190612792969 y=0.547706604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528190612792969 × 216)
    floor (0.528190612792969 × 65536)
    floor (34615.5)     		tx = 34615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547706604003906 × 216)
    floor (0.547706604003906 × 65536)
    floor (35894.5)     		ty = 35894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34615 / 35894 ti = "16/34615/35894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34615/35894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34615 ÷ 216
    34615 ÷ 65536     		x = 0.528182983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35894 ÷ 216
    35894 ÷ 65536     		y = 0.547698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528182983398438 × 2 - 1) × π
    0.056365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17707891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.09539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.299701496424591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17707891} λ = 0.17707891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.299701496424591))-π/2
    2×atan(0.74103939057768)-π/2
    2×0.637741610037258-π/2
    1.27548322007452-1.57079632675     		φ = -0.29531311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17707891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.145874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29531311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.920195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34615 KachelY 35894 0.17707891 -0.29531311 10.145874 -16.920195
    Oben rechts KachelX + 1 34616 KachelY 35894 0.17717478 -0.29531311 10.151367 -16.920195
    Unten links KachelX 34615 KachelY + 1 35895 0.17707891 -0.29540483 10.145874 -16.925450
    Unten rechts KachelX + 1 34616 KachelY + 1 35895 0.17717478 -0.29540483 10.151367 -16.925450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29531311--0.29540483) × R
    9.17200000000173e-05 × 6371000     		dl = 584.34812000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29531311--0.29540483) × R
    9.17200000000173e-05 × 6371000     		dr = 584.34812000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17707891-0.17717478) × cos(-0.29531311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.956711061866606 × 6371000     		do = 584.347416011824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17707891-0.17717478) × cos(-0.29540483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.956684363706831 × 6371000     		du = 584.331109102351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29531311)-sin(-0.29540483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956711061866606-0.956684363706831)×R²
    abs(0.17717478-0.17707891)×2.66981597758509e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66981597758509e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66981597758509e-05×40589641000000     		ar = 341457.54975684m²