Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34614 / 35898
↖ ↑ ↗
← S 16.941215°
E 10.140381°		 ← 584.34 m → S 16.941215°
E 10.145874°		 →
↑
584.28 m
↓
↑
584.28 m
↓
S 16.946470°
E 10.140381°		 ← 584.33 m →
341 418 m²		 S 16.946470°
E 10.145874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528175354003906 y=0.547767639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528175354003906 × 216)
    floor (0.528175354003906 × 65536)
    floor (34614.5)     		tx = 34614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547767639160156 × 216)
    floor (0.547767639160156 × 65536)
    floor (35898.5)     		ty = 35898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34614 / 35898 ti = "16/34614/35898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34614/35898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34614 ÷ 216
    34614 ÷ 65536     		x = 0.528167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35898 ÷ 216
    35898 ÷ 65536     		y = 0.547760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528167724609375 × 2 - 1) × π
    0.05633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17698303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.09552001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.300084991621552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17698303} λ = 0.17698303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300084991621552))-π/2
    2×atan(0.74075526001547)-π/2
    2×0.637558173229722-π/2
    1.27511634645944-1.57079632675     		φ = -0.29567998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17698303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.140381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29567998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.941215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34614 KachelY 35898 0.17698303 -0.29567998 10.140381 -16.941215
    Oben rechts KachelX + 1 34615 KachelY 35898 0.17707891 -0.29567998 10.145874 -16.941215
    Unten links KachelX 34614 KachelY + 1 35899 0.17698303 -0.29577169 10.140381 -16.946470
    Unten rechts KachelX + 1 34615 KachelY + 1 35899 0.17707891 -0.29577169 10.145874 -16.946470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29567998--0.29577169) × R
    9.17099999999671e-05 × 6371000     		dl = 584.28440999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29567998--0.29577169) × R
    9.17099999999671e-05 × 6371000     		dr = 584.28440999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17698303-0.17707891) × cos(-0.29567998) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.956604223853327 × 6371000     		do = 584.343105915012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17698303-0.17707891) × cos(-0.29577169) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.956577496417906 × 6371000     		du = 584.326779421528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29567998)-sin(-0.29577169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956604223853327-0.956577496417906)×R²
    abs(0.17707891-0.17698303)×2.67274354212033e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.67274354212033e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.67274354212033e-05×40589641000000     		ar = 341417.797458427m²