Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34612 / 36180
↖ ↑ ↗
← S 18.417079°
E 10.129395°		 ← 579.50 m → S 18.417079°
E 10.134888°		 →
↑
579.51 m
↓
↑
579.51 m
↓
S 18.422290°
E 10.129395°		 ← 579.49 m →
335 821 m²		 S 18.422290°
E 10.134888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528144836425781 y=0.552070617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528144836425781 × 216)
    floor (0.528144836425781 × 65536)
    floor (34612.5)     		tx = 34612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552070617675781 × 216)
    floor (0.552070617675781 × 65536)
    floor (36180.5)     		ty = 36180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34612 / 36180 ti = "16/34612/36180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34612/36180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34612 ÷ 216
    34612 ÷ 65536     		x = 0.52813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36180 ÷ 216
    36180 ÷ 65536     		y = 0.55206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52813720703125 × 2 - 1) × π
    0.0562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17679129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55206298828125 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.327121403007263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17679129} λ = 0.17679129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327121403007263))-π/2
    2×atan(0.720996206605415)-π/2
    2×0.624678832805674-π/2
    1.24935766561135-1.57079632675     		φ = -0.32143866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17679129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.129395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32143866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.417079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34612 KachelY 36180 0.17679129 -0.32143866 10.129395 -18.417079
    Oben rechts KachelX + 1 34613 KachelY 36180 0.17688716 -0.32143866 10.134888 -18.417079
    Unten links KachelX 34612 KachelY + 1 36181 0.17679129 -0.32152962 10.129395 -18.422290
    Unten rechts KachelX + 1 34613 KachelY + 1 36181 0.17688716 -0.32152962 10.134888 -18.422290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32143866--0.32152962) × R
    9.09600000000288e-05 × 6371000     		dl = 579.506160000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32143866--0.32152962) × R
    9.09600000000288e-05 × 6371000     		dr = 579.506160000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17679129-0.17688716) × cos(-0.32143866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948781881574137 × 6371000     		do = 579.504369663059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17679129-0.17688716) × cos(-0.32152962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948753140487064 × 6371000     		du = 579.486814958578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32143866)-sin(-0.32152962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948781881574137-0.948753140487064)×R²
    abs(0.17688716-0.17679129)×2.87410870734028e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87410870734028e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87410870734028e-05×40589641000000     		ar = 335821.265668532m²