Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3461 / 2709
↖ ↑ ↗
← N 76.074381°
W103.952637°		 ← 588 m → N 76.074381°
W103.930664°		 →
↑
588.11 m
↓
↑
588.11 m
↓
N 76.069092°
W103.952637°		 ← 588.22 m →
345 874 m²		 N 76.069092°
W103.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211273193359375 y=0.165374755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211273193359375 × 214)
    floor (0.211273193359375 × 16384)
    floor (3461.5)     		tx = 3461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165374755859375 × 214)
    floor (0.165374755859375 × 16384)
    floor (2709.5)     		ty = 2709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3461 / 2709 ti = "14/3461/2709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3461/2709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3461 ÷ 214
    3461 ÷ 16384     		x = 0.21124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2709 ÷ 214
    2709 ÷ 16384     		y = 0.16534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.5775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.81431578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16534423828125 × 2 - 1) × π
    0.6693115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10270416493414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81431578} λ = -1.81431578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10270416493414))-π/2
    2×atan(8.18828246741433)-π/2
    2×1.44927237349353-π/2
    2.89854474698706-1.57079632675     		φ = 1.32774842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81431578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32774842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.074381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3461 KachelY 2709 -1.81431578 1.32774842 -103.952637 76.074381
    Oben rechts KachelX + 1 3462 KachelY 2709 -1.81393228 1.32774842 -103.930664 76.074381
    Unten links KachelX 3461 KachelY + 1 2710 -1.81431578 1.32765611 -103.952637 76.069092
    Unten rechts KachelX + 1 3462 KachelY + 1 2710 -1.81393228 1.32765611 -103.930664 76.069092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32774842-1.32765611) × R
    9.23100000000954e-05 × 6371000     		dl = 588.107010000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32774842-1.32765611) × R
    9.23100000000954e-05 × 6371000     		dr = 588.107010000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81431578--1.81393228) × cos(1.32774842) × R
    0.000383500000000092 × 0.240662065360597 × 6371000     		do = 588.004450061283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81431578--1.81393228) × cos(1.32765611) × R
    0.000383500000000092 × 0.240751661249022 × 6371000     		du = 588.223357769159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32774842)-sin(1.32765611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240662065360597-0.240751661249022)×R²
    abs(-1.81393228--1.81431578)×8.95958884247761e-05×R²
    0.000383500000000092×8.95958884247761e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.95958884247761e-05×40589641000000     		ar = 345873.909817137m²