Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34604 / 36124
↖ ↑ ↗
← S 18.124970°
E 10.085449°		 ← 580.48 m → S 18.124970°
E 10.090942°		 →
↑
580.53 m
↓
↑
580.53 m
↓
S 18.130191°
E 10.085449°		 ← 580.46 m →
336 979 m²		 S 18.130191°
E 10.090942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528022766113281 y=0.551216125488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528022766113281 × 216)
    floor (0.528022766113281 × 65536)
    floor (34604.5)     		tx = 34604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551216125488281 × 216)
    floor (0.551216125488281 × 65536)
    floor (36124.5)     		ty = 36124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34604 / 36124 ti = "16/34604/36124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34604/36124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34604 ÷ 216
    34604 ÷ 65536     		x = 0.52801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36124 ÷ 216
    36124 ÷ 65536     		y = 0.55120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52801513671875 × 2 - 1) × π
    0.0560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17602430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55120849609375 × 2 - 1) × π
    -0.1024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.321752470249817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17602430} λ = 0.17602430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321752470249817))-π/2
    2×atan(0.724877596895228)-π/2
    2×0.62722795615952-π/2
    1.25445591231904-1.57079632675     		φ = -0.31634041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17602430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.085449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31634041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.124970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34604 KachelY 36124 0.17602430 -0.31634041 10.085449 -18.124970
    Oben rechts KachelX + 1 34605 KachelY 36124 0.17612017 -0.31634041 10.090942 -18.124970
    Unten links KachelX 34604 KachelY + 1 36125 0.17602430 -0.31643153 10.085449 -18.130191
    Unten rechts KachelX + 1 34605 KachelY + 1 36125 0.17612017 -0.31643153 10.090942 -18.130191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31634041--0.31643153) × R
    9.11200000000001e-05 × 6371000     		dl = 580.525520000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31634041--0.31643153) × R
    9.11200000000001e-05 × 6371000     		dr = 580.525520000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17602430-0.17612017) × cos(-0.31634041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950380243794902 × 6371000     		do = 580.480629759532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17602430-0.17612017) × cos(-0.31643153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950351893269525 × 6371000     		du = 580.463313605359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31634041)-sin(-0.31643153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950380243794902-0.950351893269525)×R²
    abs(0.17612017-0.17602430)×2.83505253773075e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.83505253773075e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.83505253773075e-05×40589641000000     		ar = 336978.79343953m²