Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3460 / 908
↖ ↑ ↗
← N 80.088352°
W 27.949219°		 ← 841.11 m → N 80.088352°
W 27.905273°		 →
↑
841.42 m
↓
↑
841.42 m
↓
N 80.080785°
W 27.949219°		 ← 841.74 m →
707 992 m²		 N 80.080785°
W 27.905273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42242431640625 y=0.11090087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42242431640625 × 213)
    floor (0.42242431640625 × 8192)
    floor (3460.5)     		tx = 3460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11090087890625 × 213)
    floor (0.11090087890625 × 8192)
    floor (908.5)     		ty = 908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3460 / 908 ti = "13/3460/908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3460/908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3460 ÷ 213
    3460 ÷ 8192     		x = 0.42236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 908 ÷ 213
    908 ÷ 8192     		y = 0.11083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11083984375 × 2 - 1) × π
    0.7783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44516537581982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48780589} λ = -0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44516537581982))-π/2
    2×atan(11.5324566306159)-π/2
    2×1.48430088469322-π/2
    2.96860176938645-1.57079632675     		φ = 1.39780544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39780544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.088352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3460 KachelY 908 -0.48780589 1.39780544 -27.949219 80.088352
    Oben rechts KachelX + 1 3461 KachelY 908 -0.48703890 1.39780544 -27.905273 80.088352
    Unten links KachelX 3460 KachelY + 1 909 -0.48780589 1.39767337 -27.949219 80.080785
    Unten rechts KachelX + 1 3461 KachelY + 1 909 -0.48703890 1.39767337 -27.905273 80.080785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39780544-1.39767337) × R
    0.00013207000000004 × 6371000     		dl = 841.417970000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39780544-1.39767337) × R
    0.00013207000000004 × 6371000     		dr = 841.417970000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48780589--0.48703890) × cos(1.39780544) × R
    0.000766990000000023 × 0.172129360435112 × 6371000     		do = 841.108964778189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48780589--0.48703890) × cos(1.39767337) × R
    0.000766990000000023 × 0.172259457703509 × 6371000     		du = 841.74468420726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39780544)-sin(1.39767337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172129360435112-0.172259457703509)×R²
    abs(-0.48703890--0.48780589)×0.000130097268397356×R²
    0.000766990000000023×0.000130097268397356×6371000²
    0.000766990000000023×0.000130097268397356×40589641000000     		ar = 707991.651598383m²