Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3460 / 2666
↖ ↑ ↗
← N 53.067627°
W 27.949219°		 ← 2 936.16 m → N 53.067627°
W 27.905273°		 →
↑
2 937.03 m
↓
↑
2 937.03 m
↓
N 53.041213°
W 27.949219°		 ← 2 937.96 m →
8 626 228 m²		 N 53.041213°
W 27.905273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42242431640625 y=0.32550048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42242431640625 × 213)
    floor (0.42242431640625 × 8192)
    floor (3460.5)     		tx = 3460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32550048828125 × 213)
    floor (0.32550048828125 × 8192)
    floor (2666.5)     		ty = 2666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3460 / 2666 ti = "13/3460/2666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3460/2666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3460 ÷ 213
    3460 ÷ 8192     		x = 0.42236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2666 ÷ 213
    2666 ÷ 8192     		y = 0.325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325439453125 × 2 - 1) × π
    0.34912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48780589} λ = -0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09679626330688))-π/2
    2×atan(2.99455686784527)-π/2
    2×1.24850056895239-π/2
    2.49700113790478-1.57079632675     		φ = 0.92620481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92620481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.067627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3460 KachelY 2666 -0.48780589 0.92620481 -27.949219 53.067627
    Oben rechts KachelX + 1 3461 KachelY 2666 -0.48703890 0.92620481 -27.905273 53.067627
    Unten links KachelX 3460 KachelY + 1 2667 -0.48780589 0.92574381 -27.949219 53.041213
    Unten rechts KachelX + 1 3461 KachelY + 1 2667 -0.48703890 0.92574381 -27.905273 53.041213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92620481-0.92574381) × R
    0.000461000000000045 × 6371000     		dl = 2937.03100000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92620481-0.92574381) × R
    0.000461000000000045 × 6371000     		dr = 2937.03100000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48780589--0.48703890) × cos(0.92620481) × R
    0.000766990000000023 × 0.600871969531578 × 6371000     		do = 2936.15684726523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48780589--0.48703890) × cos(0.92574381) × R
    0.000766990000000023 × 0.601240403843528 × 6371000     		du = 2937.95719905838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92620481)-sin(0.92574381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600871969531578-0.601240403843528)×R²
    abs(-0.48703890--0.48780589)×0.000368434311949883×R²
    0.000766990000000023×0.000368434311949883×6371000²
    0.000766990000000023×0.000368434311949883×40589641000000     		ar = 8626227.67856715m²