Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 346 / 750
↖ ↑ ↗
← S 63.860036°
W 58.359375°		 ← 17.223 km → S 63.860036°
W 58.007813°		 →
↑
17.175 km
↓
↑
17.175 km
↓
S 64.014496°
W 58.359375°		 ← 17.128 km →
294.988 km²		 S 64.014496°
W 58.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33837890625 y=0.73291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33837890625 × 210)
    floor (0.33837890625 × 1024)
    floor (346.5)     		tx = 346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73291015625 × 210)
    floor (0.73291015625 × 1024)
    floor (750.5)     		ty = 750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 346 / 750 ti = "10/346/750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/346/750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 346 ÷ 210
    346 ÷ 1024     		x = 0.337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 750 ÷ 210
    750 ÷ 1024     		y = 0.732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337890625 × 2 - 1) × π
    -0.32421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01856324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732421875 × 2 - 1) × π
    -0.46484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46034971002539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01856324} λ = -1.01856324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46034971002539))-π/2
    2×atan(0.232155073575483)-π/2
    2×0.228114219998436-π/2
    0.456228439996872-1.57079632675     		φ = -1.11456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01856324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.860036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 346 KachelY 750 -1.01856324 -1.11456789 -58.359375 -63.860036
    Oben rechts KachelX + 1 347 KachelY 750 -1.01242732 -1.11456789 -58.007813 -63.860036
    Unten links KachelX 346 KachelY + 1 751 -1.01856324 -1.11726373 -58.359375 -64.014496
    Unten rechts KachelX + 1 347 KachelY + 1 751 -1.01242732 -1.11726373 -58.007813 -64.014496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11456789--1.11726373) × R
    0.00269583999999989 × 6371000     		dl = 17175.1966399993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11456789--1.11726373) × R
    0.00269583999999989 × 6371000     		dr = 17175.1966399993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01856324--1.01242732) × cos(-1.11456789) × R
    0.00613591999999996 × 0.44056543883997 × 6371000     		do = 17222.5604855792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01856324--1.01242732) × cos(-1.11726373) × R
    0.00613591999999996 × 0.438143730026227 × 6371000     		du = 17127.8911746297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11456789)-sin(-1.11726373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44056543883997-0.438143730026227)×R²
    abs(-1.01242732--1.01856324)×0.0024217088137426×R²
    0.00613591999999996×0.0024217088137426×6371000²
    0.00613591999999996×0.0024217088137426×40589641000000     		ar = 294988059.621892m²