Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34598 / 48290
↖ ↑ ↗
← S 64.553161°
E 10.052490°		 ← 262.47 m → S 64.553161°
E 10.057984°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
S 64.555521°
E 10.052490°		 ← 262.44 m →
68 891 m²		 S 64.555521°
E 10.057984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527931213378906 y=0.736854553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527931213378906 × 216)
    floor (0.527931213378906 × 65536)
    floor (34598.5)     		tx = 34598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736854553222656 × 216)
    floor (0.736854553222656 × 65536)
    floor (48290.5)     		ty = 48290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34598 / 48290 ti = "16/34598/48290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34598/48290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34598 ÷ 216
    34598 ÷ 65536     		x = 0.527923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48290 ÷ 216
    48290 ÷ 65536     		y = 0.736846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527923583984375 × 2 - 1) × π
    0.05584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17544905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736846923828125 × 2 - 1) × π
    -0.47369384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48815311180502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17544905} λ = 0.17544905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48815311180502))-π/2
    2×atan(0.225789278245779)-π/2
    2×0.222065561641422-π/2
    0.444131123282844-1.57079632675     		φ = -1.12666520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17544905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.052490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12666520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.553161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34598 KachelY 48290 0.17544905 -1.12666520 10.052490 -64.553161
    Oben rechts KachelX + 1 34599 KachelY 48290 0.17554493 -1.12666520 10.057984 -64.553161
    Unten links KachelX 34598 KachelY + 1 48291 0.17544905 -1.12670640 10.052490 -64.555521
    Unten rechts KachelX + 1 34599 KachelY + 1 48291 0.17554493 -1.12670640 10.057984 -64.555521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12666520--1.12670640) × R
    4.12000000000745e-05 × 6371000     		dl = 262.485200000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12666520--1.12670640) × R
    4.12000000000745e-05 × 6371000     		dr = 262.485200000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17544905-0.17554493) × cos(-1.12666520) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.429673463692718 × 6371000     		do = 262.466671213403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17544905-0.17554493) × cos(-1.12670640) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.429636260373332 × 6371000     		du = 262.443945510695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12666520)-sin(-1.12670640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429673463692718-0.429636260373332)×R²
    abs(0.17554493-0.17544905)×3.72033193858923e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.72033193858923e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.72033193858923e-05×40589641000000     		ar = 68890.6341161058m²