Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34597 / 36125
↖ ↑ ↗
← S 18.130191°
E 10.046997°		 ← 580.46 m → S 18.130191°
E 10.052490°		 →
↑
580.46 m
↓
↑
580.46 m
↓
S 18.135411°
E 10.046997°		 ← 580.45 m →
336 932 m²		 S 18.135411°
E 10.052490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527915954589844 y=0.551231384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527915954589844 × 216)
    floor (0.527915954589844 × 65536)
    floor (34597.5)     		tx = 34597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551231384277344 × 216)
    floor (0.551231384277344 × 65536)
    floor (36125.5)     		ty = 36125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34597 / 36125 ti = "16/34597/36125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34597/36125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34597 ÷ 216
    34597 ÷ 65536     		x = 0.527908325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36125 ÷ 216
    36125 ÷ 65536     		y = 0.551223754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527908325195312 × 2 - 1) × π
    0.055816650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17535318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551223754882812 × 2 - 1) × π
    -0.102447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.321848344049057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17535318} λ = 0.17535318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321848344049057))-π/2
    2×atan(0.724808103457383)-π/2
    2×0.627182398556693-π/2
    1.25436479711339-1.57079632675     		φ = -0.31643153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17535318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.046997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31643153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.130191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34597 KachelY 36125 0.17535318 -0.31643153 10.046997 -18.130191
    Oben rechts KachelX + 1 34598 KachelY 36125 0.17544905 -0.31643153 10.052490 -18.130191
    Unten links KachelX 34597 KachelY + 1 36126 0.17535318 -0.31652264 10.046997 -18.135411
    Unten rechts KachelX + 1 34598 KachelY + 1 36126 0.17544905 -0.31652264 10.052490 -18.135411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31643153--0.31652264) × R
    9.11100000000054e-05 × 6371000     		dl = 580.461810000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31643153--0.31652264) × R
    9.11100000000054e-05 × 6371000     		dr = 580.461810000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17535318-0.17544905) × cos(-0.31643153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950351893269525 × 6371000     		do = 580.463313605359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17535318-0.17544905) × cos(-0.31652264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950323537966153 × 6371000     		du = 580.445994532844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31643153)-sin(-0.31652264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950351893269525-0.950323537966153)×R²
    abs(0.17544905-0.17535318)×2.83553033724182e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.83553033724182e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.83553033724182e-05×40589641000000     		ar = 336931.759357054m²