Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34596 / 36068
↖ ↑ ↗
← S 17.832375°
E 10.041504°		 ← 581.44 m → S 17.832375°
E 10.046997°		 →
↑
581.42 m
↓
↑
581.42 m
↓
S 17.837603°
E 10.041504°		 ← 581.43 m →
338 056 m²		 S 17.837603°
E 10.046997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527900695800781 y=0.550361633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527900695800781 × 216)
    floor (0.527900695800781 × 65536)
    floor (34596.5)     		tx = 34596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550361633300781 × 216)
    floor (0.550361633300781 × 65536)
    floor (36068.5)     		ty = 36068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34596 / 36068 ti = "16/34596/36068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34596/36068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34596 ÷ 216
    34596 ÷ 65536     		x = 0.52789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36068 ÷ 216
    36068 ÷ 65536     		y = 0.55035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52789306640625 × 2 - 1) × π
    0.0557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17525731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55035400390625 × 2 - 1) × π
    -0.1007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.316383537492371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17525731} λ = 0.17525731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.316383537492371))-π/2
    2×atan(0.728779882150153)-π/2
    2×0.629781340652218-π/2
    1.25956268130444-1.57079632675     		φ = -0.31123365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17525731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.041504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31123365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.832375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34596 KachelY 36068 0.17525731 -0.31123365 10.041504 -17.832375
    Oben rechts KachelX + 1 34597 KachelY 36068 0.17535318 -0.31123365 10.046997 -17.832375
    Unten links KachelX 34596 KachelY + 1 36069 0.17525731 -0.31132491 10.041504 -17.837603
    Unten rechts KachelX + 1 34597 KachelY + 1 36069 0.17535318 -0.31132491 10.046997 -17.837603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31123365--0.31132491) × R
    9.12600000000374e-05 × 6371000     		dl = 581.417460000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31123365--0.31132491) × R
    9.12600000000374e-05 × 6371000     		dr = 581.417460000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17525731-0.17535318) × cos(-0.31123365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95195650971984 × 6371000     		do = 581.443393708752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17525731-0.17535318) × cos(-0.31132491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951928558909323 × 6371000     		du = 581.426321695526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31123365)-sin(-0.31132491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95195650971984-0.951928558909323)×R²
    abs(0.17535318-0.17525731)×2.79508105168746e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79508105168746e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79508105168746e-05×40589641000000     		ar = 338056.37835544m²