Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34596 / 36067
↖ ↑ ↗
← S 17.827145°
E 10.041504°		 ← 581.46 m → S 17.827145°
E 10.046997°		 →
↑
581.48 m
↓
↑
581.48 m
↓
S 17.832375°
E 10.041504°		 ← 581.44 m →
338 103 m²		 S 17.832375°
E 10.046997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527900695800781 y=0.550346374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527900695800781 × 216)
    floor (0.527900695800781 × 65536)
    floor (34596.5)     		tx = 34596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550346374511719 × 216)
    floor (0.550346374511719 × 65536)
    floor (36067.5)     		ty = 36067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34596 / 36067 ti = "16/34596/36067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34596/36067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34596 ÷ 216
    34596 ÷ 65536     		x = 0.52789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36067 ÷ 216
    36067 ÷ 65536     		y = 0.550338745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52789306640625 × 2 - 1) × π
    0.0557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17525731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550338745117188 × 2 - 1) × π
    -0.100677490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.31628766369313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17525731} λ = 0.17525731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.31628766369313))-π/2
    2×atan(0.728849756395765)-π/2
    2×0.629826975165775-π/2
    1.25965395033155-1.57079632675     		φ = -0.31114238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17525731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.041504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31114238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.827145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34596 KachelY 36067 0.17525731 -0.31114238 10.041504 -17.827145
    Oben rechts KachelX + 1 34597 KachelY 36067 0.17535318 -0.31114238 10.046997 -17.827145
    Unten links KachelX 34596 KachelY + 1 36068 0.17525731 -0.31123365 10.041504 -17.832375
    Unten rechts KachelX + 1 34597 KachelY + 1 36068 0.17535318 -0.31123365 10.046997 -17.832375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31114238--0.31123365) × R
    9.12699999999766e-05 × 6371000     		dl = 581.481169999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31114238--0.31123365) × R
    9.12699999999766e-05 × 6371000     		dr = 581.481169999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17525731-0.17535318) × cos(-0.31114238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951984455663557 × 6371000     		do = 581.460462749395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17525731-0.17535318) × cos(-0.31123365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95195650971984 × 6371000     		du = 581.443393708752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31114238)-sin(-0.31123365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951984455663557-0.95195650971984)×R²
    abs(0.17535318-0.17525731)×2.79459437176888e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79459437176888e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79459437176888e-05×40589641000000     		ar = 338103.347759992m²