Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34595 / 36127
↖ ↑ ↗
← S 18.140632°
E 10.036011°		 ← 580.49 m → S 18.140632°
E 10.041504°		 →
↑
580.46 m
↓
↑
580.46 m
↓
S 18.145852°
E 10.036011°		 ← 580.47 m →
336 947 m²		 S 18.145852°
E 10.041504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527885437011719 y=0.551261901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527885437011719 × 216)
    floor (0.527885437011719 × 65536)
    floor (34595.5)     		tx = 34595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551261901855469 × 216)
    floor (0.551261901855469 × 65536)
    floor (36127.5)     		ty = 36127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34595 / 36127 ti = "16/34595/36127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34595/36127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34595 ÷ 216
    34595 ÷ 65536     		x = 0.527877807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36127 ÷ 216
    36127 ÷ 65536     		y = 0.551254272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527877807617188 × 2 - 1) × π
    0.055755615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17516143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551254272460938 × 2 - 1) × π
    -0.102508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.322040091647537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17516143} λ = 0.17516143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.322040091647537))-π/2
    2×atan(0.724669136567896)-π/2
    2×0.627091287428779-π/2
    1.25418257485756-1.57079632675     		φ = -0.31661375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17516143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.036011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31661375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.140632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34595 KachelY 36127 0.17516143 -0.31661375 10.036011 -18.140632
    Oben rechts KachelX + 1 34596 KachelY 36127 0.17525731 -0.31661375 10.041504 -18.140632
    Unten links KachelX 34595 KachelY + 1 36128 0.17516143 -0.31670486 10.036011 -18.145852
    Unten rechts KachelX + 1 34596 KachelY + 1 36128 0.17525731 -0.31670486 10.041504 -18.145852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31661375--0.31670486) × R
    9.11099999999498e-05 × 6371000     		dl = 580.46180999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31661375--0.31670486) × R
    9.11099999999498e-05 × 6371000     		dr = 580.46180999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17516143-0.17525731) × cos(-0.31661375) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.950295174774114 × 6371000     		do = 580.489213947582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17516143-0.17525731) × cos(-0.31670486) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.950266803693645 × 6371000     		du = 580.471883431088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31661375)-sin(-0.31670486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950295174774114-0.950266803693645)×R²
    abs(0.17525731-0.17516143)×2.83710804692694e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.83710804692694e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.83710804692694e-05×40589641000000     		ar = 336946.790194899m²