Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34595 / 36066
↖ ↑ ↗
← S 17.821915°
E 10.036011°		 ← 581.54 m → S 17.821915°
E 10.041504°		 →
↑
581.54 m
↓
↑
581.54 m
↓
S 17.827145°
E 10.036011°		 ← 581.52 m →
338 186 m²		 S 17.827145°
E 10.041504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527885437011719 y=0.550331115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527885437011719 × 216)
    floor (0.527885437011719 × 65536)
    floor (34595.5)     		tx = 34595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550331115722656 × 216)
    floor (0.550331115722656 × 65536)
    floor (36066.5)     		ty = 36066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34595 / 36066 ti = "16/34595/36066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34595/36066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34595 ÷ 216
    34595 ÷ 65536     		x = 0.527877807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36066 ÷ 216
    36066 ÷ 65536     		y = 0.550323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527877807617188 × 2 - 1) × π
    0.055755615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17516143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.10064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.31619178989389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17516143} λ = 0.17516143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.31619178989389))-π/2
    2×atan(0.728919637340809)-π/2
    2×0.62987261101879-π/2
    1.25974522203758-1.57079632675     		φ = -0.31105110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17516143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.036011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31105110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.821915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34595 KachelY 36066 0.17516143 -0.31105110 10.036011 -17.821915
    Oben rechts KachelX + 1 34596 KachelY 36066 0.17525731 -0.31105110 10.041504 -17.821915
    Unten links KachelX 34595 KachelY + 1 36067 0.17516143 -0.31114238 10.036011 -17.827145
    Unten rechts KachelX + 1 34596 KachelY + 1 36067 0.17525731 -0.31114238 10.041504 -17.827145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31105110--0.31114238) × R
    9.12799999999714e-05 × 6371000     		dl = 581.544879999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31105110--0.31114238) × R
    9.12799999999714e-05 × 6371000     		dr = 581.544879999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17516143-0.17525731) × cos(-0.31105110) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.952012396737637 × 6371000     		do = 581.538181525488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17516143-0.17525731) × cos(-0.31114238) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.951984455663557 × 6371000     		du = 581.521113679034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31105110)-sin(-0.31114238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952012396737637-0.951984455663557)×R²
    abs(0.17525731-0.17516143)×2.79410740793296e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.79410740793296e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.79410740793296e-05×40589641000000     		ar = 338185.589366059m²