Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34594 / 36120
↖ ↑ ↗
← S 18.104087°
E 10.030518°		 ← 580.55 m → S 18.104087°
E 10.036011°		 →
↑
580.53 m
↓
↑
580.53 m
↓
S 18.109308°
E 10.030518°		 ← 580.53 m →
337 019 m²		 S 18.109308°
E 10.036011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527870178222656 y=0.551155090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527870178222656 × 216)
    floor (0.527870178222656 × 65536)
    floor (34594.5)     		tx = 34594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551155090332031 × 216)
    floor (0.551155090332031 × 65536)
    floor (36120.5)     		ty = 36120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34594 / 36120 ti = "16/34594/36120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34594/36120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34594 ÷ 216
    34594 ÷ 65536     		x = 0.527862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36120 ÷ 216
    36120 ÷ 65536     		y = 0.5511474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527862548828125 × 2 - 1) × π
    0.05572509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17506556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5511474609375 × 2 - 1) × π
    -0.102294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.321368975052856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17506556} λ = 0.17506556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321368975052856))-π/2
    2×atan(0.725155637282191)-π/2
    2×0.627410200155409-π/2
    1.25482040031082-1.57079632675     		φ = -0.31597593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17506556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.030518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31597593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.104087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34594 KachelY 36120 0.17506556 -0.31597593 10.030518 -18.104087
    Oben rechts KachelX + 1 34595 KachelY 36120 0.17516143 -0.31597593 10.036011 -18.104087
    Unten links KachelX 34594 KachelY + 1 36121 0.17506556 -0.31606705 10.030518 -18.109308
    Unten rechts KachelX + 1 34595 KachelY + 1 36121 0.17516143 -0.31606705 10.036011 -18.109308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31597593--0.31606705) × R
    9.11200000000001e-05 × 6371000     		dl = 580.525520000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31597593--0.31606705) × R
    9.11200000000001e-05 × 6371000     		dr = 580.525520000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17506556-0.17516143) × cos(-0.31597593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950493566985371 × 6371000     		do = 580.549846178328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17506556-0.17516143) × cos(-0.31606705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95046524802488 × 6371000     		du = 580.532549303601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31597593)-sin(-0.31606705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950493566985371-0.95046524802488)×R²
    abs(0.17516143-0.17506556)×2.83189604904921e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.83189604904921e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.83189604904921e-05×40589641000000     		ar = 337018.980933223m²