Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34593 / 36108
↖ ↑ ↗
← S 18.041421°
E 10.025024°		 ← 580.82 m → S 18.041421°
E 10.030518°		 →
↑
580.78 m
↓
↑
580.78 m
↓
S 18.046644°
E 10.025024°		 ← 580.80 m →
337 322 m²		 S 18.046644°
E 10.030518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527854919433594 y=0.550971984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527854919433594 × 216)
    floor (0.527854919433594 × 65536)
    floor (34593.5)     		tx = 34593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550971984863281 × 216)
    floor (0.550971984863281 × 65536)
    floor (36108.5)     		ty = 36108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34593 / 36108 ti = "16/34593/36108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34593/36108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34593 ÷ 216
    34593 ÷ 65536     		x = 0.527847290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36108 ÷ 216
    36108 ÷ 65536     		y = 0.55096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527847290039062 × 2 - 1) × π
    0.055694580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17496968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55096435546875 × 2 - 1) × π
    -0.1019287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.320218489461975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17496968} λ = 0.17496968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.320218489461975))-π/2
    2×atan(0.725990398492327)-π/2
    2×0.627957062371203-π/2
    1.25591412474241-1.57079632675     		φ = -0.31488220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17496968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.025024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31488220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.041421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34593 KachelY 36108 0.17496968 -0.31488220 10.025024 -18.041421
    Oben rechts KachelX + 1 34594 KachelY 36108 0.17506556 -0.31488220 10.030518 -18.041421
    Unten links KachelX 34593 KachelY + 1 36109 0.17496968 -0.31497336 10.025024 -18.046644
    Unten rechts KachelX + 1 34594 KachelY + 1 36109 0.17506556 -0.31497336 10.030518 -18.046644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31488220--0.31497336) × R
    9.1159999999979e-05 × 6371000     		dl = 580.780359999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31488220--0.31497336) × R
    9.1159999999979e-05 × 6371000     		dr = 580.780359999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17496968-0.17506556) × cos(-0.31488220) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.950832868697255 × 6371000     		do = 580.817665076487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17496968-0.17506556) × cos(-0.31497336) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.950804632087461 × 6371000     		du = 580.800416701604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31488220)-sin(-0.31497336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950832868697255-0.950804632087461)×R²
    abs(0.17506556-0.17496968)×2.82366097941189e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.82366097941189e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.82366097941189e-05×40589641000000     		ar = 337322.484092407m²