Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34590 / 36129
↖ ↑ ↗
← S 18.151071°
E 10.008545°		 ← 580.45 m → S 18.151071°
E 10.014038°		 →
↑
580.40 m
↓
↑
580.40 m
↓
S 18.156291°
E 10.008545°		 ← 580.44 m →
336 890 m²		 S 18.156291°
E 10.014038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527809143066406 y=0.551292419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527809143066406 × 216)
    floor (0.527809143066406 × 65536)
    floor (34590.5)     		tx = 34590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551292419433594 × 216)
    floor (0.551292419433594 × 65536)
    floor (36129.5)     		ty = 36129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34590 / 36129 ti = "16/34590/36129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34590/36129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34590 ÷ 216
    34590 ÷ 65536     		x = 0.527801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36129 ÷ 216
    36129 ÷ 65536     		y = 0.551284790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527801513671875 × 2 - 1) × π
    0.05560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17468206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551284790039062 × 2 - 1) × π
    -0.102569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.322231839246017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17468206} λ = 0.17468206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.322231839246017))-π/2
    2×atan(0.724530196322421)-π/2
    2×0.627000181740099-π/2
    1.2540003634802-1.57079632675     		φ = -0.31679596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17468206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.008545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31679596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.151071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34590 KachelY 36129 0.17468206 -0.31679596 10.008545 -18.151071
    Oben rechts KachelX + 1 34591 KachelY 36129 0.17477794 -0.31679596 10.014038 -18.151071
    Unten links KachelX 34590 KachelY + 1 36130 0.17468206 -0.31688706 10.008545 -18.156291
    Unten rechts KachelX + 1 34591 KachelY + 1 36130 0.17477794 -0.31688706 10.014038 -18.156291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31679596--0.31688706) × R
    9.11000000000106e-05 × 6371000     		dl = 580.398100000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31679596--0.31688706) × R
    9.11000000000106e-05 × 6371000     		dr = 580.398100000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17468206-0.17477794) × cos(-0.31679596) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.950238427840216 × 6371000     		do = 580.454549999025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17468206-0.17477794) × cos(-0.31688706) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.950210044100559 × 6371000     		du = 580.437211749647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31679596)-sin(-0.31688706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950238427840216-0.950210044100559)×R²
    abs(0.17477794-0.17468206)×2.83837396570785e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.83837396570785e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.83837396570785e-05×40589641000000     		ar = 336889.686645257m²