Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34584 / 36104
↖ ↑ ↗
← S 18.020528°
E  9.975586°		 ← 580.83 m → S 18.020528°
E  9.981079°		 →
↑
580.84 m
↓
↑
580.84 m
↓
S 18.025751°
E  9.975586°		 ← 580.81 m →
337 364 m²		 S 18.025751°
E  9.981079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527717590332031 y=0.550910949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527717590332031 × 216)
    floor (0.527717590332031 × 65536)
    floor (34584.5)     		tx = 34584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550910949707031 × 216)
    floor (0.550910949707031 × 65536)
    floor (36104.5)     		ty = 36104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34584 / 36104 ti = "16/34584/36104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34584/36104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34584 ÷ 216
    34584 ÷ 65536     		x = 0.5277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36104 ÷ 216
    36104 ÷ 65536     		y = 0.5509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5277099609375 × 2 - 1) × π
    0.055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17410682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.319834994265015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17410682} λ = 0.17410682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319834994265015))-π/2
    2×atan(0.726268865715197)-π/2
    2×0.628139393113682-π/2
    1.25627878622736-1.57079632675     		φ = -0.31451754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17410682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31451754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.020528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34584 KachelY 36104 0.17410682 -0.31451754 9.975586 -18.020528
    Oben rechts KachelX + 1 34585 KachelY 36104 0.17420269 -0.31451754 9.981079 -18.020528
    Unten links KachelX 34584 KachelY + 1 36105 0.17410682 -0.31460871 9.975586 -18.025751
    Unten rechts KachelX + 1 34585 KachelY + 1 36105 0.17420269 -0.31460871 9.981079 -18.025751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31451754--0.31460871) × R
    9.11700000000293e-05 × 6371000     		dl = 580.844070000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31451754--0.31460871) × R
    9.11700000000293e-05 × 6371000     		dr = 580.844070000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17410682-0.17420269) × cos(-0.31451754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950945742305645 × 6371000     		do = 580.826029333847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17410682-0.17420269) × cos(-0.31460871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950917534210786 × 6371000     		du = 580.808800174492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31451754)-sin(-0.31460871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950945742305645-0.950917534210786)×R²
    abs(0.17420269-0.17410682)×2.82080948590391e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82080948590391e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82080948590391e-05×40589641000000     		ar = 337364.351346448m²