Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34583 / 36103
↖ ↑ ↗
← S 18.015304°
E  9.970093°		 ← 580.84 m → S 18.015304°
E  9.975586°		 →
↑
580.84 m
↓
↑
580.84 m
↓
S 18.020528°
E  9.970093°		 ← 580.83 m →
337 374 m²		 S 18.020528°
E  9.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527702331542969 y=0.550895690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527702331542969 × 216)
    floor (0.527702331542969 × 65536)
    floor (34583.5)     		tx = 34583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550895690917969 × 216)
    floor (0.550895690917969 × 65536)
    floor (36103.5)     		ty = 36103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34583 / 36103 ti = "16/34583/36103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34583/36103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34583 ÷ 216
    34583 ÷ 65536     		x = 0.527694702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36103 ÷ 216
    36103 ÷ 65536     		y = 0.550888061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527694702148438 × 2 - 1) × π
    0.055389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17401095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550888061523438 × 2 - 1) × π
    -0.101776123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.319739120465775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17401095} λ = 0.17401095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319739120465775))-π/2
    2×atan(0.726338499208583)-π/2
    2×0.628184979180226-π/2
    1.25636995836045-1.57079632675     		φ = -0.31442637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17401095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.970093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31442637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.015304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34583 KachelY 36103 0.17401095 -0.31442637 9.970093 -18.015304
    Oben rechts KachelX + 1 34584 KachelY 36103 0.17410682 -0.31442637 9.975586 -18.015304
    Unten links KachelX 34583 KachelY + 1 36104 0.17401095 -0.31451754 9.970093 -18.020528
    Unten rechts KachelX + 1 34584 KachelY + 1 36104 0.17410682 -0.31451754 9.975586 -18.020528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31442637--0.31451754) × R
    9.11699999999738e-05 × 6371000     		dl = 580.844069999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31442637--0.31451754) × R
    9.11699999999738e-05 × 6371000     		dr = 580.844069999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17401095-0.17410682) × cos(-0.31442637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950973942496273 × 6371000     		do = 580.843253665394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17401095-0.17410682) × cos(-0.31451754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950945742305645 × 6371000     		du = 580.826029333847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31442637)-sin(-0.31451754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950973942496273-0.950945742305645)×R²
    abs(0.17410682-0.17401095)×2.82001906275475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82001906275475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82001906275475e-05×40589641000000     		ar = 337374.357399083m²