Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34582 / 36107
↖ ↑ ↗
← S 18.036198°
E  9.964600°		 ← 580.83 m → S 18.036198°
E  9.970093°		 →
↑
580.78 m
↓
↑
580.78 m
↓
S 18.041421°
E  9.964600°		 ← 580.82 m →
337 333 m²		 S 18.041421°
E  9.970093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527687072753906 y=0.550956726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527687072753906 × 216)
    floor (0.527687072753906 × 65536)
    floor (34582.5)     		tx = 34582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550956726074219 × 216)
    floor (0.550956726074219 × 65536)
    floor (36107.5)     		ty = 36107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34582 / 36107 ti = "16/34582/36107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34582/36107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34582 ÷ 216
    34582 ÷ 65536     		x = 0.527679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36107 ÷ 216
    36107 ÷ 65536     		y = 0.550949096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527679443359375 × 2 - 1) × π
    0.05535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17391507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550949096679688 × 2 - 1) × π
    -0.101898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.320122615662735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17391507} λ = 0.17391507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.320122615662735))-π/2
    2×atan(0.726060005286723)-π/2
    2×0.628002643027591-π/2
    1.25600528605518-1.57079632675     		φ = -0.31479104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17391507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.964600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31479104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.036198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34582 KachelY 36107 0.17391507 -0.31479104 9.964600 -18.036198
    Oben rechts KachelX + 1 34583 KachelY 36107 0.17401095 -0.31479104 9.970093 -18.036198
    Unten links KachelX 34582 KachelY + 1 36108 0.17391507 -0.31488220 9.964600 -18.041421
    Unten rechts KachelX + 1 34583 KachelY + 1 36108 0.17401095 -0.31488220 9.970093 -18.041421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31479104--0.31488220) × R
    9.1159999999979e-05 × 6371000     		dl = 580.780359999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31479104--0.31488220) × R
    9.1159999999979e-05 × 6371000     		dr = 580.780359999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17391507-0.17401095) × cos(-0.31479104) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.95086109740549 × 6371000     		do = 580.834908624523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17391507-0.17401095) × cos(-0.31488220) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.950832868697255 × 6371000     		du = 580.817665076319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31479104)-sin(-0.31488220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95086109740549-0.950832868697255)×R²
    abs(0.17401095-0.17391507)×2.82287082347121e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.82287082347121e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.82287082347121e-05×40589641000000     		ar = 337332.500207887m²