Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3458 / 1112
↖ ↑ ↗
← N 78.420193°
W 28.037109°		 ← 980.88 m → N 78.420193°
W 27.993164°		 →
↑
981.26 m
↓
↑
981.26 m
↓
N 78.411368°
W 28.037109°		 ← 981.62 m →
962 860 m²		 N 78.411368°
W 27.993164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42218017578125 y=0.13580322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42218017578125 × 213)
    floor (0.42218017578125 × 8192)
    floor (3458.5)     		tx = 3458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13580322265625 × 213)
    floor (0.13580322265625 × 8192)
    floor (1112.5)     		ty = 1112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3458 / 1112 ti = "13/3458/1112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3458/1112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3458 ÷ 213
    3458 ÷ 8192     		x = 0.422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1112 ÷ 213
    1112 ÷ 8192     		y = 0.1357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.15576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48933987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1357421875 × 2 - 1) × π
    0.728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28869933545996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48933987} λ = -0.48933987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28869933545996))-π/2
    2×atan(9.86210204913144)-π/2
    2×1.46974344974837-π/2
    2.93948689949675-1.57079632675     		φ = 1.36869057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48933987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36869057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.420193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3458 KachelY 1112 -0.48933987 1.36869057 -28.037109 78.420193
    Oben rechts KachelX + 1 3459 KachelY 1112 -0.48857288 1.36869057 -27.993164 78.420193
    Unten links KachelX 3458 KachelY + 1 1113 -0.48933987 1.36853655 -28.037109 78.411368
    Unten rechts KachelX + 1 3459 KachelY + 1 1113 -0.48857288 1.36853655 -27.993164 78.411368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36869057-1.36853655) × R
    0.000154020000000088 × 6371000     		dl = 981.261420000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36869057-1.36853655) × R
    0.000154020000000088 × 6371000     		dr = 981.261420000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48933987--0.48857288) × cos(1.36869057) × R
    0.000766990000000023 × 0.200732670654823 × 6371000     		do = 980.878848238604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48933987--0.48857288) × cos(1.36853655) × R
    0.000766990000000023 × 0.200883553358858 × 6371000     		du = 981.616135559444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36869057)-sin(1.36853655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200732670654823-0.200883553358858)×R²
    abs(-0.48857288--0.48933987)×0.000150882704034128×R²
    0.000766990000000023×0.000150882704034128×6371000²
    0.000766990000000023×0.000150882704034128×40589641000000     		ar = 962860.30917365m²