Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34575 / 48307
↖ ↑ ↗
← S 64.593256°
E  9.926148°		 ← 262.05 m → S 64.593256°
E  9.931641°		 →
↑
262.10 m
↓
↑
262.10 m
↓
S 64.595613°
E  9.926148°		 ← 262.03 m →
68 682 m²		 S 64.595613°
E  9.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527580261230469 y=0.737113952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527580261230469 × 216)
    floor (0.527580261230469 × 65536)
    floor (34575.5)     		tx = 34575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737113952636719 × 216)
    floor (0.737113952636719 × 65536)
    floor (48307.5)     		ty = 48307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34575 / 48307 ti = "16/34575/48307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34575/48307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34575 ÷ 216
    34575 ÷ 65536     		x = 0.527572631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48307 ÷ 216
    48307 ÷ 65536     		y = 0.737106323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527572631835938 × 2 - 1) × π
    0.055145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17324396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737106323242188 × 2 - 1) × π
    -0.474212646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48978296639211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17324396} λ = 0.17324396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48978296639211))-π/2
    2×atan(0.225421574288306)-π/2
    2×0.221715666578963-π/2
    0.443431333157925-1.57079632675     		φ = -1.12736499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17324396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.926148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12736499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.593256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34575 KachelY 48307 0.17324396 -1.12736499 9.926148 -64.593256
    Oben rechts KachelX + 1 34576 KachelY 48307 0.17333983 -1.12736499 9.931641 -64.593256
    Unten links KachelX 34575 KachelY + 1 48308 0.17324396 -1.12740613 9.926148 -64.595613
    Unten rechts KachelX + 1 34576 KachelY + 1 48308 0.17333983 -1.12740613 9.931641 -64.595613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12736499--1.12740613) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dl = 262.102939999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12736499--1.12740613) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dr = 262.102939999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17324396-0.17333983) × cos(-1.12736499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429041459127591 × 6371000     		do = 262.053276058081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17324396-0.17333983) × cos(-1.12740613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429004297627934 × 6371000     		du = 262.030578268576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12736499)-sin(-1.12740613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429041459127591-0.429004297627934)×R²
    abs(0.17333983-0.17324396)×3.71614996566572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71614996566572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71614996566572e-05×40589641000000     		ar = 68681.9595222416m²