Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34575 / 36110
↖ ↑ ↗
← S 18.051867°
E  9.926148°		 ← 580.72 m → S 18.051867°
E  9.931641°		 →
↑
580.72 m
↓
↑
580.72 m
↓
S 18.057090°
E  9.926148°		 ← 580.71 m →
337 230 m²		 S 18.057090°
E  9.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527580261230469 y=0.551002502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527580261230469 × 216)
    floor (0.527580261230469 × 65536)
    floor (34575.5)     		tx = 34575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551002502441406 × 216)
    floor (0.551002502441406 × 65536)
    floor (36110.5)     		ty = 36110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34575 / 36110 ti = "16/34575/36110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34575/36110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34575 ÷ 216
    34575 ÷ 65536     		x = 0.527572631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36110 ÷ 216
    36110 ÷ 65536     		y = 0.550994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527572631835938 × 2 - 1) × π
    0.055145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17324396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.10198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.320410237060455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17324396} λ = 0.17324396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.320410237060455))-π/2
    2×atan(0.725851204922339)-π/2
    2×0.627865905118922-π/2
    1.25573181023784-1.57079632675     		φ = -0.31506452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17324396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.926148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31506452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.051867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34575 KachelY 36110 0.17324396 -0.31506452 9.926148 -18.051867
    Oben rechts KachelX + 1 34576 KachelY 36110 0.17333983 -0.31506452 9.931641 -18.051867
    Unten links KachelX 34575 KachelY + 1 36111 0.17324396 -0.31515567 9.926148 -18.057090
    Unten rechts KachelX + 1 34576 KachelY + 1 36111 0.17333983 -0.31515567 9.931641 -18.057090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31506452--0.31515567) × R
    9.11499999999843e-05 × 6371000     		dl = 580.7166499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31506452--0.31515567) × R
    9.11499999999843e-05 × 6371000     		dr = 580.7166499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17324396-0.17333983) × cos(-0.31506452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950776387576342 × 6371000     		do = 580.722589536397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17324396-0.17333983) × cos(-0.31515567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950748138263777 × 6371000     		du = 580.705335201771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31506452)-sin(-0.31515567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950776387576342-0.950748138263777)×R²
    abs(0.17333983-0.17324396)×2.8249312564621e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8249312564621e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8249312564621e-05×40589641000000     		ar = 337230.267068598m²