Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34569 / 48311
↖ ↑ ↗
← S 64.602682°
E  9.893188°		 ← 261.99 m → S 64.602682°
E  9.898682°		 →
↑
261.98 m
↓
↑
261.98 m
↓
S 64.605038°
E  9.893188°		 ← 261.97 m →
68 632 m²		 S 64.605038°
E  9.898682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527488708496094 y=0.737174987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527488708496094 × 216)
    floor (0.527488708496094 × 65536)
    floor (34569.5)     		tx = 34569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737174987792969 × 216)
    floor (0.737174987792969 × 65536)
    floor (48311.5)     		ty = 48311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34569 / 48311 ti = "16/34569/48311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34569/48311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34569 ÷ 216
    34569 ÷ 65536     		x = 0.527481079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48311 ÷ 216
    48311 ÷ 65536     		y = 0.737167358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527481079101562 × 2 - 1) × π
    0.054962158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17266871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737167358398438 × 2 - 1) × π
    -0.474334716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49016646158907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17266871} λ = 0.17266871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49016646158907))-π/2
    2×atan(0.22533514277137)-π/2
    2×0.221633413157864-π/2
    0.443266826315728-1.57079632675     		φ = -1.12752950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17266871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.893188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12752950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.602682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34569 KachelY 48311 0.17266871 -1.12752950 9.893188 -64.602682
    Oben rechts KachelX + 1 34570 KachelY 48311 0.17276459 -1.12752950 9.898682 -64.602682
    Unten links KachelX 34569 KachelY + 1 48312 0.17266871 -1.12757062 9.893188 -64.605038
    Unten rechts KachelX + 1 34570 KachelY + 1 48312 0.17276459 -1.12757062 9.898682 -64.605038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12752950--1.12757062) × R
    4.11199999998946e-05 × 6371000     		dl = 261.975519999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12752950--1.12757062) × R
    4.11199999998946e-05 × 6371000     		dr = 261.975519999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17266871-0.17276459) × cos(-1.12752950) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.428892853940447 × 6371000     		do = 261.989834590926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17266871-0.17276459) × cos(-1.12757062) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.428855707605151 × 6371000     		du = 261.967143697034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12752950)-sin(-1.12757062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428892853940447-0.428855707605151)×R²
    abs(0.17276459-0.17266871)×3.71463352952794e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.71463352952794e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.71463352952794e-05×40589641000000     		ar = 68631.9509315607m²