Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34566 / 48316
↖ ↑ ↗
← S 64.614459°
E  9.876709°		 ← 261.85 m → S 64.614459°
E  9.882202°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
S 64.616814°
E  9.876709°		 ← 261.83 m →
68 562 m²		 S 64.616814°
E  9.882202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527442932128906 y=0.737251281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527442932128906 × 216)
    floor (0.527442932128906 × 65536)
    floor (34566.5)     		tx = 34566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737251281738281 × 216)
    floor (0.737251281738281 × 65536)
    floor (48316.5)     		ty = 48316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34566 / 48316 ti = "16/34566/48316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34566/48316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34566 ÷ 216
    34566 ÷ 65536     		x = 0.527435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48316 ÷ 216
    48316 ÷ 65536     		y = 0.73724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527435302734375 × 2 - 1) × π
    0.05487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17238109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.4744873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49064583058527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17238109} λ = 0.17238109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49064583058527))-π/2
    2×atan(0.225227149976438)-π/2
    2×0.221530636445105-π/2
    0.443061272890209-1.57079632675     		φ = -1.12773505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17238109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.876709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12773505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.614459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34566 KachelY 48316 0.17238109 -1.12773505 9.876709 -64.614459
    Oben rechts KachelX + 1 34567 KachelY 48316 0.17247696 -1.12773505 9.882202 -64.614459
    Unten links KachelX 34566 KachelY + 1 48317 0.17238109 -1.12777615 9.876709 -64.616814
    Unten rechts KachelX + 1 34567 KachelY + 1 48317 0.17247696 -1.12777615 9.882202 -64.616814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12773505--1.12777615) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12773505--1.12777615) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17238109-0.17247696) × cos(-1.12773505) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.428707160185448 × 6371000     		do = 261.849090352773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17238109-0.17247696) × cos(-1.12777615) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.428670028295222 × 6371000     		du = 261.826410648346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12773505)-sin(-1.12777615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428707160185448-0.428670028295222)×R²
    abs(0.17247696-0.17238109)×3.71318902260276e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.71318902260276e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.71318902260276e-05×40589641000000     		ar = 68561.7174865601m²