Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34563 / 37122
↖ ↑ ↗
← S 23.251440°
E  9.860230°		 ← 561.18 m → S 23.251440°
E  9.865722°		 →
↑
561.22 m
↓
↑
561.22 m
↓
S 23.256488°
E  9.860230°		 ← 561.16 m →
314 940 m²		 S 23.256488°
E  9.865722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527397155761719 y=0.566444396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527397155761719 × 216)
    floor (0.527397155761719 × 65536)
    floor (34563.5)     		tx = 34563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566444396972656 × 216)
    floor (0.566444396972656 × 65536)
    floor (37122.5)     		ty = 37122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34563 / 37122 ti = "16/34563/37122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34563/37122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34563 ÷ 216
    34563 ÷ 65536     		x = 0.527389526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37122 ÷ 216
    37122 ÷ 65536     		y = 0.566436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527389526367188 × 2 - 1) × π
    0.054779052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17209347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.13287353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.417434521891449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17209347} λ = 0.17209347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417434521891449))-π/2
    2×atan(0.658734623133103)-π/2
    2×0.582491066975809-π/2
    1.16498213395162-1.57079632675     		φ = -0.40581419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17209347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.860230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40581419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.251440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34563 KachelY 37122 0.17209347 -0.40581419 9.860230 -23.251440
    Oben rechts KachelX + 1 34564 KachelY 37122 0.17218934 -0.40581419 9.865722 -23.251440
    Unten links KachelX 34563 KachelY + 1 37123 0.17209347 -0.40590228 9.860230 -23.256488
    Unten rechts KachelX + 1 34564 KachelY + 1 37123 0.17218934 -0.40590228 9.865722 -23.256488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40581419--0.40590228) × R
    8.80899999999851e-05 × 6371000     		dl = 561.221389999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40581419--0.40590228) × R
    8.80899999999851e-05 × 6371000     		dr = 561.221389999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17209347-0.17218934) × cos(-0.40581419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918781286427778 × 6371000     		do = 561.180373054942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17209347-0.17218934) × cos(-0.40590228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918746507842073 × 6371000     		du = 561.159130720135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40581419)-sin(-0.40590228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918781286427778-0.918746507842073)×R²
    abs(0.17218934-0.17209347)×3.47785857054417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47785857054417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47785857054417e-05×40589641000000     		ar = 314940.46838396m²