Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34563 / 22278
↖ ↑ ↗
← N 49.816721°
E  9.860230°		 ← 394.10 m → N 49.816721°
E  9.865722°		 →
↑
394.11 m
↓
↑
394.11 m
↓
N 49.813176°
E  9.860230°		 ← 394.13 m →
155 325 m²		 N 49.813176°
E  9.865722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527397155761719 y=0.339942932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527397155761719 × 216)
    floor (0.527397155761719 × 65536)
    floor (34563.5)     		tx = 34563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339942932128906 × 216)
    floor (0.339942932128906 × 65536)
    floor (22278.5)     		ty = 22278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34563 / 22278 ti = "16/34563/22278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34563/22278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34563 ÷ 216
    34563 ÷ 65536     		x = 0.527389526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22278 ÷ 216
    22278 ÷ 65536     		y = 0.339935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527389526367188 × 2 - 1) × π
    0.054779052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17209347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339935302734375 × 2 - 1) × π
    0.32012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00571615402878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17209347} λ = 0.17209347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00571615402878))-π/2
    2×atan(2.73386443995852)-π/2
    2×1.22013106402178-π/2
    2.44026212804356-1.57079632675     		φ = 0.86946580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17209347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.860230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86946580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.816721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34563 KachelY 22278 0.17209347 0.86946580 9.860230 49.816721
    Oben rechts KachelX + 1 34564 KachelY 22278 0.17218934 0.86946580 9.865722 49.816721
    Unten links KachelX 34563 KachelY + 1 22279 0.17209347 0.86940394 9.860230 49.813176
    Unten rechts KachelX + 1 34564 KachelY + 1 22279 0.17218934 0.86940394 9.865722 49.813176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86946580-0.86940394) × R
    6.18599999999692e-05 × 6371000     		dl = 394.110059999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86946580-0.86940394) × R
    6.18599999999692e-05 × 6371000     		dr = 394.110059999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17209347-0.17218934) × cos(0.86946580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645234759731783 × 6371000     		do = 394.101500023053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17209347-0.17218934) × cos(0.86940394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645282018569817 × 6371000     		du = 394.130365143349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86946580)-sin(0.86940394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645234759731783-0.645282018569817)×R²
    abs(0.17218934-0.17209347)×4.72588380341366e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72588380341366e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72588380341366e-05×40589641000000     		ar = 155325.053886678m²