Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34562 / 23296
↖ ↑ ↗
← N 74.959392°
W 85.072632°		 ← 79.26 m → N 74.959392°
W 85.069885°		 →
↑
79.26 m
↓
↑
79.26 m
↓
N 74.958679°
W 85.072632°		 ← 79.26 m →
6 282 m²		 N 74.958679°
W 85.069885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.263690948486328 y=0.177738189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.263690948486328 × 217)
    floor (0.263690948486328 × 131072)
    floor (34562.5)     		tx = 34562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177738189697266 × 217)
    floor (0.177738189697266 × 131072)
    floor (23296.5)     		ty = 23296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34562 / 23296 ti = "17/34562/23296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34562/23296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34562 ÷ 217
    34562 ÷ 131072     		x = 0.263687133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23296 ÷ 217
    23296 ÷ 131072     		y = 0.177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.263687133789062 × 2 - 1) × π
    -0.472625732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.48479753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.177734375 × 2 - 1) × π
    0.64453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.02485463995117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48479753} λ = -1.48479753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02485463995117))-π/2
    2×atan(7.57500976081601)-π/2
    2×1.43954225826026-π/2
    2.87908451652053-1.57079632675     		φ = 1.30828819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48479753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.072632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30828819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.959392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34562 KachelY 23296 -1.48479753 1.30828819 -85.072632 74.959392
    Oben rechts KachelX + 1 34563 KachelY 23296 -1.48474959 1.30828819 -85.069885 74.959392
    Unten links KachelX 34562 KachelY + 1 23297 -1.48479753 1.30827575 -85.072632 74.958679
    Unten rechts KachelX + 1 34563 KachelY + 1 23297 -1.48474959 1.30827575 -85.069885 74.958679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30828819-1.30827575) × R
    1.24400000001135e-05 × 6371000     		dl = 79.2552400007229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30828819-1.30827575) × R
    1.24400000001135e-05 × 6371000     		dr = 79.2552400007229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48479753--1.48474959) × cos(1.30828819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2595035789989 × 6371000     		do = 79.2590726483357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48479753--1.48474959) × cos(1.30827575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.259515592811116 × 6371000     		du = 79.262741975822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30828819)-sin(1.30827575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2595035789989-0.259515592811116)×R²
    abs(-1.48474959--1.48479753)×1.20138122159941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20138122159941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20138122159941e-05×40589641000000     		ar = 6281.84223172384m²