Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34561 / 37121
↖ ↑ ↗
← S 23.246393°
E  9.849243°		 ← 561.26 m → S 23.246393°
E  9.854737°		 →
↑
561.22 m
↓
↑
561.22 m
↓
S 23.251440°
E  9.849243°		 ← 561.24 m →
314 985 m²		 S 23.251440°
E  9.854737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527366638183594 y=0.566429138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527366638183594 × 216)
    floor (0.527366638183594 × 65536)
    floor (34561.5)     		tx = 34561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566429138183594 × 216)
    floor (0.566429138183594 × 65536)
    floor (37121.5)     		ty = 37121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34561 / 37121 ti = "16/34561/37121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34561/37121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34561 ÷ 216
    34561 ÷ 65536     		x = 0.527359008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37121 ÷ 216
    37121 ÷ 65536     		y = 0.566421508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527359008789062 × 2 - 1) × π
    0.054718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17190172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566421508789062 × 2 - 1) × π
    -0.132843017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.417338648092209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17190172} λ = 0.17190172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417338648092209))-π/2
    2×atan(0.658797781551684)-π/2
    2×0.582535111335485-π/2
    1.16507022267097-1.57079632675     		φ = -0.40572610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17190172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.849243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40572610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.246393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34561 KachelY 37121 0.17190172 -0.40572610 9.849243 -23.246393
    Oben rechts KachelX + 1 34562 KachelY 37121 0.17199760 -0.40572610 9.854737 -23.246393
    Unten links KachelX 34561 KachelY + 1 37122 0.17190172 -0.40581419 9.849243 -23.251440
    Unten rechts KachelX + 1 34562 KachelY + 1 37122 0.17199760 -0.40581419 9.854737 -23.251440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40572610--0.40581419) × R
    8.80900000000406e-05 × 6371000     		dl = 561.221390000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40572610--0.40581419) × R
    8.80900000000406e-05 × 6371000     		dr = 561.221390000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17190172-0.17199760) × cos(-0.40572610) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.918816057883881 × 6371000     		do = 561.260148806091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17190172-0.17199760) × cos(-0.40581419) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.918781286427778 × 6371000     		du = 561.238908610669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40572610)-sin(-0.40581419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918816057883881-0.918781286427778)×R²
    abs(0.17199760-0.17190172)×3.47714561022006e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.47714561022006e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.47714561022006e-05×40589641000000     		ar = 314985.240842468m²